Uma massa de 10 kg está suspensa de uma bola cuja constante é 140 N/m. Põe-se a massa em movimento, a partir da posição de equilíbrio, com uma velocidade inicial de 1 m/s para cima e com uma força externa aplicada F(t) = 5 sen t. Determine o movimento subsequente da massa, se a força da resistência do ar é - 90 . x N.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 10 kg pendurada de uma mola com constante elástica de . Essa massa é colocada em movimento com uma velocidade inicial de para cima, e além disso, há uma força externa agindo sobre ela, dada por . Também temos uma força de resistência do ar que depende da velocidade, expressa por .
Vamos precisar usar a segunda lei de Newton para relacionar todas essas forças e montar uma equação diferencial que descreve o movimento da massa. Além disso, iremos considerar o amortecimento causado pela resistência do ar e a força externa aplicada.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as forças atuando na massa:
  1. Força da mola: , onde é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio.
  2. Força da resistência do ar: .
  3. Força externa: .
De acordo com a segunda lei de Newton, a soma dessas forças é igual à massa vezes a aceleração:
Substituindo as forças, temos:

Passo 3

Agora, vamos organizar essa equação para padronizá-la:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 10:
Essa é uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem, onde:
  • Termo homogêneo:
  • Termo particular:

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial em duas partes: a solução da equação homogênea ( ) e a solução particular ( ).
1. Solução da Equação Homogênea ( )
A equação homogênea é:
A equação característica associada é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
2. Solução Particular ( )
Para encontrar a solução particular, assumimos uma forma semelhante ao termo não homogêneo. Como o termo é , tentamos:
Calculamos as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Agrupando os termos de e :
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes e .
As condições iniciais são:
  1. Posição inicial: A massa parte da posição de equilíbrio, então .
  2. Velocidade inicial: (para cima).
Aplicando :
çã
Calculando :
Aplicando :
çã
Resolvendo o sistema de Equações 1 e 2:
Da Equação 1: .
Substituindo na Equação 2:
Então:

Passo 7

Com as constantes encontradas, substituímos de volta na solução geral:
Essa é a função que descreve o movimento da massa ao longo do tempo, considerando a mola, a força externa e a resistência do ar.

Resposta

A função que descreve o movimento da massa é:

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Um circuito RCL ligado em série tem R = 10 ohms, C = 10^(-2) farad, L = 1/2 henry e uma tensão aplicada E = 12 volts. Admitindo que não haja corrente inicial nem carga inicial em t = 0 quando a tensão é aplicada pela primeira vez, determine a corrente subsequente no sistema.

Resposta:

I(t) = 12 / 5 e^(-10 t) sen(10 t), que é completamente transiente.
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados (Método de Descartes):
a) y'' + 3y' + 2y = 6 y = C1 * e^(-x) + C2 * e^(-2x) + 3
b) 4 y'' + 9 y = 15 y = C1 cos(3/2 x) + C2 sen(3/2 x) + 5/3
c) y'' - 10y' + 25y = 30x + 3 y = C1 * e^(5 * x) + C2 * x * e^(5 * x) + 6/5 * x + 3/5
d) y'' - y' + 1/4 y = 3 + e^(x/2) y = C1 e^(x/2) + C2 x e^(x/2) + 12 + 1/2 x^2 e^(x/2)
e) y'' - 16y = 2e^(4x) y = C1 e^(4 x) + C2 e^(-4 x) + (1/4) x e^(4 x)
f) y'' + 4 y = 3 sen(2 x) y = C1 cos(2 x) + C2 sen(2 x) - 3/4 x cos(2 x)
g) y''' - 2y'' - 4y' + 8y = 6x e^(2x) y = C1 * e^(2 * x) + C2 * x * e^(2 * x) + C3 * e^(-2 * x) + (1/4 * x^3 - 3/16 * x^2) * e^(2 * x)
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
e) integral0^2 integral0^4-y^2 y d x d y
Sabe-se que quando 3 resistores cujas resistências valem R1, R2 e R3 estão acoplados em paralelo, a resistência equivalente R pode ser calculada através da equação
1R=1R1+1R2+1R3
Encontre partial Rpartial R3.