Uma massa de 10 kg está suspensa de uma bola cuja constante é 140 N/m. Põe-se a massa em movimento, a partir da posição de equilíbrio, com uma velocidade inicial de 1 m/s para cima e com uma força externa aplicada F(t) = 5 sen t. Determine o movimento subsequente da massa, se a força da resistência do ar é - 90 . x N.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 10 kg pendurada de uma mola com constante elástica de . Essa massa é colocada em movimento com uma velocidade inicial de para cima, e além disso, há uma força externa agindo sobre ela, dada por . Também temos uma força de resistência do ar que depende da velocidade, expressa por .
Vamos precisar usar a segunda lei de Newton para relacionar todas essas forças e montar uma equação diferencial que descreve o movimento da massa. Além disso, iremos considerar o amortecimento causado pela resistência do ar e a força externa aplicada.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as forças atuando na massa:
  1. Força da mola: , onde é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio.
  2. Força da resistência do ar: .
  3. Força externa: .
De acordo com a segunda lei de Newton, a soma dessas forças é igual à massa vezes a aceleração:
Substituindo as forças, temos:

Passo 3

Agora, vamos organizar essa equação para padronizá-la:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 10:
Essa é uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem, onde:
  • Termo homogêneo:
  • Termo particular:

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial em duas partes: a solução da equação homogênea ( ) e a solução particular ( ).
1. Solução da Equação Homogênea ( )
A equação homogênea é:
A equação característica associada é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
2. Solução Particular ( )
Para encontrar a solução particular, assumimos uma forma semelhante ao termo não homogêneo. Como o termo é , tentamos:
Calculamos as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Agrupando os termos de e :
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes e .
As condições iniciais são:
  1. Posição inicial: A massa parte da posição de equilíbrio, então .
  2. Velocidade inicial: (para cima).
Aplicando :
çã
Calculando :
Aplicando :
çã
Resolvendo o sistema de Equações 1 e 2:
Da Equação 1: .
Substituindo na Equação 2:
Então:

Passo 7

Com as constantes encontradas, substituímos de volta na solução geral:
Essa é a função que descreve o movimento da massa ao longo do tempo, considerando a mola, a força externa e a resistência do ar.

Resposta

A função que descreve o movimento da massa é:

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