Uma massa de 10 kg está suspensa de uma bola cuja constante é
. Põe-se a massa em movimento, a partir da posição de equilíbrio, com uma velocidade inicial de
para cima e com uma força externa aplicada
sen
. Determine o movimento subsequente da massa, se a força da resistência do ar é -
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 10 kg pendurada de uma mola com constante elástica de
. Essa massa é colocada em movimento com uma velocidade inicial de
para cima, e além disso, há uma força externa agindo sobre ela, dada por
. Também temos uma força de resistência do ar que depende da velocidade, expressa por
.
Vamos precisar usar a segunda lei de Newton para relacionar todas essas forças e montar uma equação diferencial que descreve o movimento da massa. Além disso, iremos considerar o amortecimento causado pela resistência do ar e a força externa aplicada.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as forças atuando na massa:
- Força da mola:
, onde é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio. - Força da resistência do ar:
. - Força externa:
.
De acordo com a segunda lei de Newton, a soma dessas forças é igual à massa vezes a aceleração:
Substituindo as forças, temos:
Passo 3
Agora, vamos organizar essa equação para padronizá-la:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 10:
Essa é uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem, onde:
- Termo homogêneo:
- Termo particular:
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial em duas partes: a solução da equação homogênea (
) e a solução particular (
).
1. Solução da Equação Homogênea (
)
A equação homogênea é:
A equação característica associada é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
2. Solução Particular (
)
Para encontrar a solução particular, assumimos uma forma semelhante ao termo não homogêneo. Como o termo é
, tentamos:
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Agrupando os termos de
e
:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação:
.
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes
e
.
As condições iniciais são:
- Posição inicial: A massa parte da posição de equilíbrio, então
. - Velocidade inicial:
(para cima).
Aplicando
:
Calculando
:
Aplicando
:
Resolvendo o sistema de Equações 1 e 2:
Da Equação 1:
.
Substituindo na Equação 2:
Então:
Passo 7
Com as constantes encontradas, substituímos de volta na solução geral:
Essa é a função que descreve o movimento da massa ao longo do tempo, considerando a mola, a força externa e a resistência do ar.
Resposta
A função que descreve o movimento da massa é: