Resolva a equação diferencial e use uma calculadora gráfica ou um computador para traçar vários membros da familia de soluçöes. Como a curva solução muda quando C varia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial e, depois, usar uma calculadora gráfica ou computador para desenhar várias soluções dessa equação, conhecidas como “família de soluções”. Além disso, precisamos entender como a curva da solução muda quando o constante varia. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente resolução de equações de primeira ordem, e entender o papel do constante nas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Vamos supor que a equação seja de primeira ordem e separável, ou seja, podemos reescrever a equação de forma que todas as fiquem de um lado e todas as do outro. Por exemplo, considere a equação diferencial:
onde é uma constante.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
Aqui, é a constante de integração que aparece ao resolver a integral.

Passo 4

Então, a solução geral da equação diferencial é:
Essa é a família de soluções da equação diferencial dada, onde cada valor diferente de gera uma linha reta com inclinação .

Passo 5

Agora, vamos entender como a curva solução muda quando varia. Cada valor de representa uma linha reta diferente:
  • Se aumenta, a linha se move para cima no gráfico.
  • Se diminui, a linha se move para baixo.
  • A inclinação permanece a mesma para todas as soluções, apenas a posição vertical da linha muda.
Portanto, ao variar , todas as linhas da família são paralelas entre si, deslocando-se verticalmente.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é . Ao variar o valor de , todas as soluções são linhas retas paralelas que se deslocam verticalmente para cima ou para baixo no gráfico, mantendo a mesma inclinação .

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