x y' + 2 y = e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação para um formato padrão e utilizar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos todos os termos da equação original por :
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular:
Então,
Como estamos trabalhando com positivo, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
A integral da esquerda é simplesmente . Para a integral da direita, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Então, temos:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para dividindo todos os termos por :
Podemos simplificar ainda mais:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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