Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação para um formato padrão e utilizar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos todos os termos da equação original por
:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular:
Então,
Como estamos trabalhando com
positivo, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral da esquerda é simplesmente
. Para a integral da direita, usamos a técnica de integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a integração por partes:
Então, temos:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
dividindo todos os termos por
:
Podemos simplificar ainda mais:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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