Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial que relaciona a taxa de variação de
em relação ao tempo
. A equação é:
Aqui,
e
são constantes, e
é a base dos logaritmos naturais. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente como resolver equações diferenciais de primeira ordem, para encontrar a função
que satisfaz essa condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolada. Assim, movemos o termo
para o outro lado da equação:
Isso simplifica a nossa equação, deixando a derivada de
em termos de constantes.
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial simples onde a derivada de
é igual a uma constante. Para resolver isso, vamos integrar ambos os lados em relação a
. A integração é o processo inverso da derivada, então:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Vamos realizar a integração término por termo:
Passo 5
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Passo 6
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
. Substituindo
na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
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