Resolva a equação separável y′=2xy^2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial separável $ y’ = 2x y^2 $. Isso significa que podemos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever $ y’ $ como $ \frac{dy}{dx} $ para facilitar a manipulação:
Agora, queremos separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $. Vamos dividir ambos os lados por $ y^2 $:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por $ dx $ para isolar os termos de $ y $ e $ x $:
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis.
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação:
A integral de $ \frac{1}{y^2} dy $ é $ -\frac{1}{y} $, e a integral de $ 2x , dx $ é $ x^2 $. Não podemos esquecer a constante de integração $ C $:
Passo 5
Por fim, vamos resolver para $ y $ isolando-o na equação:
Podemos renomear a constante $ -C $ como apenas $ C $, já que $ C $ é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante real.