Resolva a equação separável y′=2xy^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial separável $ y’ = 2x y^2 $. Isso significa que podemos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever $ y’ $ como $ \frac{dy}{dx} $ para facilitar a manipulação:
y'
Agora, queremos separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $. Vamos dividir ambos os lados por $ y^2 $:
dydx

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por $ dx $ para isolar os termos de $ y $ e $ x $:
dx
Dessa forma, conseguimos separar as variáveis.

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação:
integral 1y^2 dy = integral 2x , dx
A integral de $ \frac{1}{y^2} dy $ é $ -\frac{1}{y} $, e a integral de $ 2x , dx $ é $ x^2 $. Não podemos esquecer a constante de integração $ C $:
1y^2 dy

Passo 5

Por fim, vamos resolver para $ y $ isolando-o na equação:
y
Podemos renomear a constante $ -C $ como apenas $ C $, já que $ C $ é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1C - x^2
onde $ C $ é uma constante real.

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