Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolvido aqui é o Método dos Coeficientes Indeterminados, que usamos para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com termos não homogêneos específicos, como exponenciais, senos, cossenos, etc.
Passo 2
Vamos começar encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
Para resolver isso, montamos a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular da equação original
usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Como o termo não homogêneo é
e não é solução da equação homogênea, podemos assumir uma solução particular na forma:
Onde
é a constante que precisamos encontrar.
Passo 6
Calculamos as derivadas necessárias de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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é uma solução para
no intervalo (
). Determinar uma segunda solução para essa equação.
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