A função y1 = x é uma solução para x^2 y'' + x y' - y = 0 no intervalo ( 0, pi ). Determinar uma segunda solução para essa equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a função é uma solução da equação diferencial no intervalo . Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução para essa equação. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem, especificamente quando já conhecemos uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando já temos uma solução conhecida de uma equação diferencial linear de segunda ordem, podemos encontrar uma segunda solução usando a fórmula de redução de ordem. A fórmula é:
Aqui, é o coeficiente de na equação diferencial padronizada.

Passo 3

Nossa equação diferencial é . Para usar a fórmula, precisamos primeiro escrever a equação na forma padrão:
Dividindo tudo por :
Então, temos e .

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Sabendo que , vamos calcular :

Passo 6

Substituindo na fórmula de :

Passo 7

Vamos agora calcular a integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Então, substituindo de volta em :
Como já temos como solução, podemos descartar o termo para obter uma solução linearmente independente.

Passo 9

Portanto, a segunda solução é:

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é .

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