A função
é uma solução para
no intervalo (
). Determinar uma segunda solução para essa equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a função
é uma solução da equação diferencial
no intervalo
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução para essa equação. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem, especificamente quando já conhecemos uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando já temos uma solução conhecida
de uma equação diferencial linear de segunda ordem, podemos encontrar uma segunda solução
usando a fórmula de redução de ordem. A fórmula é:
Aqui,
é o coeficiente de
na equação diferencial padronizada.
Passo 3
Nossa equação diferencial é
. Para usar a fórmula, precisamos primeiro escrever a equação na forma padrão:
Dividindo tudo por
:
Então, temos
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Sabendo que
, vamos calcular
:
Passo 6
Substituindo na fórmula de
:
Passo 7
Vamos agora calcular a integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Então, substituindo de volta em
:
Como já temos
como solução, podemos descartar o termo
para obter uma solução linearmente independente.
Passo 9
Portanto, a segunda solução é:
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Seja
um número real, não nulo. Mostrar que, as funções
e
, são soluções fundamentais da equação diferencial
.
Resolva as equações diferenciais pelo Método da Variação dos Parâmetros
(d)
(d)
Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
(b)
(b)