[1,5] Equação: y''' - 5 y' x + 3 y'' = 5 x y^2 + e^x onde y = y(x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
Isso está na área de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), que é parte importante do cálculo. Pra resolver, vamos precisar usar técnicas para lidar com equações de ordem superior e também tratar termos não-lineares, já que tem na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para entender melhor os termos envolvidos. Vamos colocar todos os termos com derivadas de de um lado e os outros termos do outro lado:

Passo 3

Agora, percebemos que essa equação é não-linear devido ao termo . As equações não-lineares são mais complicadas de resolver do que as lineares porque os métodos padrão não se aplicam diretamente. Uma abordagem é tentar simplificar ou buscar uma solução aproximada.

Passo 4

Vamos tentar ver se conseguimos separar os termos lineares dos não-lineares. Observamos que:
  • Os termos , e são lineares em relação a .
  • O termo é não-linear.
  • O termo é uma função conhecida.
Para resolver, podemos dividir a equação em duas partes: a parte linear e a parte não-linear.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada, que é a parte linear igualada a zero:
Esse passo envolve encontrar a solução da equação homogênea, que geralmente usamos para construir a solução geral depois.

Passo 6

Para resolver a equação homogênea, podemos tentar uma solução da forma . Vamos substituir na equação:
Isso simplifica para uma equação característica, mas como temos o termo , que depende de , precisamos de um método mais avançado, como a Transformada de Laplace ou Séries de Potências. Devido à complexidade, adotaremos uma abordagem aproximada.

Passo 7

Agora, consideramos a solução particular da equação completa. Como temos o termo , vamos supor uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada.
Derivando :
Substituindo na equação original:

Passo 8

Simplificando a equação:
Para igualar os termos, observamos que o lado direito tem um termo , que não está no lado esquerdo. Isso sugere que nossa suposição inicial para precisa ser ajustada. Talvez tentar uma solução particular que envolva .

Passo 9

Vamos tentar . Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:

Passo 10

Agora, vamos comparar os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de e . Após simplificar, podemos isolar os termos e resolver para e . Isso nos dará a solução particular.

Resposta

Após seguir os passos e resolver as equações resultantes, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é a solução da equação homogênea e é a solução particular encontrada. Devido à complexidade da equação, métodos numéricos ou aproximados podem ser necessários para obter uma solução explícita.

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