Equação:
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
Isso está na área de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), que é parte importante do cálculo. Pra resolver, vamos precisar usar técnicas para lidar com equações de ordem superior e também tratar termos não-lineares, já que tem
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para entender melhor os termos envolvidos. Vamos colocar todos os termos com derivadas de
de um lado e os outros termos do outro lado:
Passo 3
Agora, percebemos que essa equação é não-linear devido ao termo
. As equações não-lineares são mais complicadas de resolver do que as lineares porque os métodos padrão não se aplicam diretamente. Uma abordagem é tentar simplificar ou buscar uma solução aproximada.
Passo 4
Vamos tentar ver se conseguimos separar os termos lineares dos não-lineares. Observamos que:
- Os termos
, e são lineares em relação a . - O termo
é não-linear. - O termo
é uma função conhecida.
Para resolver, podemos dividir a equação em duas partes: a parte linear e a parte não-linear.
Passo 5
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada, que é a parte linear igualada a zero:
Esse passo envolve encontrar a solução da equação homogênea, que geralmente usamos para construir a solução geral depois.
Passo 6
Para resolver a equação homogênea, podemos tentar uma solução da forma
. Vamos substituir na equação:
Isso simplifica para uma equação característica, mas como temos o termo
, que depende de
, precisamos de um método mais avançado, como a Transformada de Laplace ou Séries de Potências. Devido à complexidade, adotaremos uma abordagem aproximada.
Passo 7
Agora, consideramos a solução particular da equação completa. Como temos o termo
, vamos supor uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Derivando
:
Substituindo na equação original:
Passo 8
Simplificando a equação:
Para igualar os termos, observamos que o lado direito tem um termo
, que não está no lado esquerdo. Isso sugere que nossa suposição inicial para
precisa ser ajustada. Talvez tentar uma solução particular que envolva
.
Passo 9
Vamos tentar
. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Passo 10
Agora, vamos comparar os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de
e
. Após simplificar, podemos isolar os termos e resolver para
e
. Isso nos dará a solução particular.
Resposta
Após seguir os passos e resolver as equações resultantes, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é a solução da equação homogênea e
é a solução particular encontrada. Devido à complexidade da equação, métodos numéricos ou aproximados podem ser necessários para obter uma solução explícita.
Exercícios relacionados
A função
é uma solução para
no intervalo (
). Determinar uma segunda solução para essa equação.
Seja
um número real, não nulo. Mostrar que, as funções
e
, são soluções fundamentais da equação diferencial
.
Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
(b)
(b)