Resolva as equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: precisamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema faz parte da matéria de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da parte homogênea e uma solução particular da parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja,
. Para isso, encontramos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo
por
.
Passo 3
A equação característica fica:
. Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos as raízes. Calculando o discriminante:
Passo 4
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Observamos que o termo do lado direito é
, que já está presente na solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular adequada.
Passo 6
Assumimos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Calculamos as derivadas:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Percebemos que precisamos ajustar nossa suposição. Tentamos então
.
Passo 8
Calculando as derivadas novamente:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitárias.