Resolva as equações diferenciais a seguir. y'' - 6y' + 9y = 2e^(3x)

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: precisamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema faz parte da matéria de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da parte homogênea e uma solução particular da parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . Para isso, encontramos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo por .

Passo 3

A equação característica fica: . Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos as raízes. Calculando o discriminante:

Passo 4

Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla: . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Observamos que o termo do lado direito é , que já está presente na solução homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular adequada.

Passo 6

Assumimos uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada. Calculamos as derivadas:

Passo 7

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Percebemos que precisamos ajustar nossa suposição. Tentamos então .

Passo 8

Calculando as derivadas novamente:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:

Passo 9

Então, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitárias.

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