Resolva as equações diferenciais a seguir. x^2 d^2y/dx^2 - x dy/dx + y = 4x ln x, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial , onde . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de . Para resolver, vamos precisar achar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, . Essa é uma equação de Cauchy-Euler, que tem a forma geral . Para resolver, assumimos uma solução do tipo .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
Então, temos uma raiz dupla:

Passo 5

Como a equação característica possui uma raiz dupla , as soluções da equação homogênea são:
Ou simplificando:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Observamos que o membro da direita é , que já está presente na solução homogênea. Por isso, vamos tentar uma solução particular do tipo:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação completa:
Simplificando:
Observamos que os termos com se cancelam e os termos com e também se anulam, restando:
Isso não é possível, então precisamos ajustar nossa tentativa.

Passo 8

Como nossa primeira tentativa não funcionou, vamos tentar uma solução particular diferente. Vamos assumir:
Vamos recalcular as derivadas:
Substituindo novamente na equação:
Simplificando:
Novamente, os termos com e se cancelam, sobraríamos com , o que não resolve.

Passo 9

Parece que precisamos tentar uma solução particular com um termo extra. Vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Observamos que muitos termos se cancelam, restando:
Ainda não conseguimos, então provavelmente precisamos usar o método de variação de parâmetros.

Passo 10

Vamos usar o método de variação de parâmetros. Sabemos que a solução homogênea é:
Assumimos uma solução particular da forma:
Calculamos e , e substituímos na equação para determinar e .

Passo 11

Após aplicar o método de variação de parâmetros e resolver o sistema resultante, encontramos:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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