Resolva as equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
, onde
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja,
. Essa é uma equação de Cauchy-Euler, que tem a forma geral
. Para resolver, assumimos uma solução do tipo
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Então, temos uma raiz dupla:
Passo 5
Como a equação característica possui uma raiz dupla
, as soluções da equação homogênea são:
Ou simplificando:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Observamos que o membro da direita é
, que já está presente na solução homogênea. Por isso, vamos tentar uma solução particular do tipo:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação completa:
Simplificando:
Observamos que os termos com
se cancelam e os termos com
e
também se anulam, restando:
Isso não é possível, então precisamos ajustar nossa tentativa.
Passo 8
Como nossa primeira tentativa não funcionou, vamos tentar uma solução particular diferente. Vamos assumir:
Vamos recalcular as derivadas:
Substituindo novamente na equação:
Simplificando:
Novamente, os termos com
e
se cancelam, sobraríamos com
, o que não resolve.
Passo 9
Parece que precisamos tentar uma solução particular com um termo extra. Vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Observamos que muitos termos se cancelam, restando:
Ainda não conseguimos, então provavelmente precisamos usar o método de variação de parâmetros.
Passo 10
Vamos usar o método de variação de parâmetros. Sabemos que a solução homogênea é:
Assumimos uma solução particular da forma:
Calculamos
e
, e substituímos na equação para determinar
e
.
Passo 11
Após aplicar o método de variação de parâmetros e resolver o sistema resultante, encontramos:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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, uma resistência
, uma bobine com indutância
e um condensador com capacitância
, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador
é tal que
sendo a intensidade de correte
, cada instante de
, dada por
.
Supondo que (Volt),
(Ohm),
(Henry) e
(Farad), e sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente é nula e a carga do condensador é igual a 5 (Coulomb) :
determinar a carga do condensador em cada instante ;
Supondo que
determinar a carga do condensador em cada instante
Resolva as equações diferenciais a seguir.