Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão E(t), uma resistência R, uma bobine com indutância L e um condensador com capacitância C, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador q(t) é tal que
L d^2q/dt^2 + R dq/dt + 1/C q = E(t)
sendo a intensidade de correte i, cada instante de t, dada por i(t) = d q / d t.
Supondo que E(t) = 0 (Volt), R = 2 (Ohm), L=0,05 (Henry) e C = 1/100 (Farad), e sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente é nula e a carga do condensador é igual a 5 (Coulomb) :
determinar a carga do condensador em cada instante t;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um circuito RLC, que é um tipo de circuito elétrico com Resistor ®, Indutor (L) e Capacitor © todos conectados em série. A gente precisa descobrir como a carga no capacitor, chamada q(t), varia com o tempo t. Para isso, vamos usar uma equação diferencial que relaciona esses componentes. As informações que temos são:
  • Força eletromotriz volts.
  • Resistência Ohm.
  • Indutância Henry.
  • Capacitância Farad.
  • Condição inicial: no tempo t = 0, a corrente e a carga Coulomb.
Vamos resolver essa equação passo a passo para achar q(t).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Como , a equação fica:
Agora, vamos substituir os valores que temos:

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é:
Multiplicando todos os termos por 20 para simplificar:
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante ( Delta):
Como , temos raízes complexas, o que indica que a solução será do tipo oscilatória (subamortecida).
As raízes são:

Passo 4

Com as raízes , a solução geral da equação diferencial é:
Onde:
Então,

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes C1 e C2.
Primeiro, sabemos que :
Então, .
Agora, vamos encontrar C2 usando a condição .
Primeiro, calculamos a derivada de q(t):
Avaliando em :
Resolvendo para C2:

Passo 6

Agora que temos e , substituímos de volta na solução geral:
Podemos fatorar o 2,5:

Resposta

A carga do capacitor em cada instante t é dada por:

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais a seguir. x^2 d^2y/dx^2 - x dy/dx + y = 4x ln x, x > 0
Resolva as equações diferenciais a seguir. y'' - 6y' + 9y = 2e^(3x)
Resolva as equações diferenciais a seguir. y''' + y'' + 15 y' - 17 y = 0
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
(e) partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial x^2=0