Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão , uma resistência , uma bobine com indutância e um condensador com capacitância , ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador é tal que
sendo a intensidade de correte , cada instante de , dada por .
Supondo que (Volt), (Ohm), (Henry) e (Farad), e sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente é nula e a carga do condensador é igual a 5 (Coulomb) :
determinar a carga do condensador em cada instante ;
Condição inicial: no tempo , a corrente e a carga Coulomb.
Vamos resolver essa equação passo a passo para achar .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Como , a equação fica:
Agora, vamos substituir os valores que temos:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é:
Multiplicando todos os termos por 20 para simplificar:
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante ():
Como , temos raízes complexas, o que indica que a solução será do tipo oscilatória (subamortecida).
As raízes são:
Passo 4
Com as raízes , a solução geral da equação diferencial é:
Onde:
Então,
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, sabemos que :
Então, .
Agora, vamos encontrar usando a condição .
Primeiro, calculamos a derivada de q(t):
Avaliando em :
Resolvendo para C2:
Passo 6
Agora que temos e , substituímos de volta na solução geral:
Podemos fatorar o 2,5:
Resposta
A carga do capacitor em cada instante t é dada por: