Resolva as equações diferenciais usando o método da separação das variáveis:
g) dy/dx = (x^2 * y^2) / (1 + x)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a equação diferencial usando o método da separação das variáveis. Esse método nos ajuda a reorganizar a equação para que todas as partes que envolvem fiquem de um lado e as que envolvem fiquem do outro, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por e multiplicar por :
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que nos permite integrar separadamente.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação:

Passo 4

Começando pela integral do lado esquerdo:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Primeiro, simplificamos a fração fazendo uma divisão polinomial:
Então, a integral fica:

Passo 6

Juntando as integrais que calculamos:
Aqui, representa a constante de integração geral, já que e podem ser combinados em uma única constante.

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação para :
Multiplicando ambos os lados por :
onde ainda é uma constante de integração. Finalmente, invertendo os dois lados para isolar :
Podemos simplificar renomeando a constante de volta para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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