Resolva as equações diferenciais usando o método da separação das variáveis:
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver a equação diferencial
usando o método da separação das variáveis. Esse método nos ajuda a reorganizar a equação para que todas as partes que envolvem
fiquem de um lado e as que envolvem
fiquem do outro, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por
e multiplicar por
:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que nos permite integrar separadamente.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Passo 4
Começando pela integral do lado esquerdo:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Primeiro, simplificamos a fração
fazendo uma divisão polinomial:
Então, a integral fica:
Passo 6
Juntando as integrais que calculamos:
Aqui,
representa a constante de integração geral, já que
e
podem ser combinados em uma única constante.
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
onde
ainda é uma constante de integração. Finalmente, invertendo os dois lados para isolar
:
Podemos simplificar renomeando a constante
de volta para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.