Resolva as equações diferenciais usando o método da separação das variáveis:
a) d y/d x=5 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Estamos lidando com equações diferenciais e vamos usar o método da separação das variáveis. Para isso, precisamos entender como separar os termos que envolvem y dos que envolvem x e, em seguida, integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis y e x. Atualmente, temos . Como queremos separar e , podemos multiplicar ambos os lados por :

Passo 3

Agora que os lados estão separados, o próximo passo é integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função y cuja derivada em relação a x seja . Então, vamos integrar:

Passo 4

Vamos resolver as integrais:
  • A integral de em relação a y é simplesmente y.
  • A integral de é .
Portanto, temos:
Onde C é a constante de integração, que aparece porque estamos resolvendo uma equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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