Resolva as equações diferenciais usando o método da separação das variáveis:
h) d y/d x = (1 + 2 y^2) / (y x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial para resolver usando o método da separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para conseguir separar os termos que envolvem dos que envolvem . A equação que vamos resolver é:
Para isso, vamos precisar entender como manipular a equação para conseguir integrar os dois lados de forma separada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 3

Agora, queremos isolar e em lados separados. Vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por :
Isso nos deixa com de um lado e do outro, prontos para integrar.

Passo 4

Hora de integrar! Vamos integrar os dois lados da equação:

Passo 5

Vamos resolver a integral à esquerda. Para isso, fazemos uma substituição simples:
Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 6

A integral à direita é mais simples:
Onde e são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma só, já que são ambas constantes arbitrárias.

Passo 7

Igualando as duas integrais e simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o coeficiente da esquerda:
Onde ainda é uma constante arbitrária.

Passo 8

Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para se livrar do logaritmo:
Onde é uma nova constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real arbitrária.

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