Resolva as equações diferenciais usando o método da separação das variáveis:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial para resolver usando o método da separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para conseguir separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. A equação que vamos resolver é:
Para isso, vamos precisar entender como manipular a equação para conseguir integrar os dois lados de forma separada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 3
Agora, queremos isolar
e
em lados separados. Vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Isso nos deixa com
de um lado e
do outro, prontos para integrar.
Passo 4
Hora de integrar! Vamos integrar os dois lados da equação:
Passo 5
Vamos resolver a integral à esquerda. Para isso, fazemos uma substituição simples:
Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 6
A integral à direita é mais simples:
Onde
e
são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma só, já que são ambas constantes arbitrárias.
Passo 7
Igualando as duas integrais e simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o coeficiente da esquerda:
Onde
ainda é uma constante arbitrária.
Passo 8
Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para se livrar do logaritmo:
Onde
é uma nova constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real arbitrária.