Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características para a parte homogênea e procurar soluções particulares para os termos não homogêneos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Para isso, montamos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Como as raízes são complexas,
, a solução geral da parte homogênea é:
Passo 5
Agora vamos encontrar a solução particular para os termos não homogêneos
e
. Vamos chamar essa solução de
, que será a soma das soluções particulares para cada termo:
Passo 6
Primeiro, encontramos
para
. Como
já está presente na solução homogênea, multiplicamos por
para evitar duplicação:
Passo 7
Agora, encontramos
para
. Assumimos uma solução da forma:
Passo 8
Derivamos
:
Passo 9
Substituímos
na equação diferencial:
Então,
Passo 10
Agora, juntamos as soluções homogênea e particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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.
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