Use a definiçăo de área da superficie (6) para determinar a ârea da superficie com equação vetorial
r(u, v) = u * cos(v) * i + u * sen(v) * j + c * u * k
0 <= u <= h, 0 <= v <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma superfície definida por uma equação vetorial e queremos encontrar a área dessa superfície no intervalo e . Para isso, vamos usar a definição de área de superfície, que envolve calcular o produto vetorial das derivadas parciais da equação vetorial e integrar o resultado sobre os limites dados. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas parciais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial dada:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções dos eixos , e respectivamente.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação às variáveis e . Vamos calcular e :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, . O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular à superfície, e sua magnitude nos dá a “área infinitesimal” da superfície.
Calculando o determinante:
Como , simplificamos para:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor, que representa a área infinitesimal:
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos a magnitude, podemos configurar a integral dupla para encontrar a área total da superfície:
Á
Como é uma constante em relação a , podemos tirar da integral interna:
Á

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Substituindo de volta na integral externa:
Á

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em relação a :
Substituindo de volta:
Á

Resposta

A área da superfície é .

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