Use a definiçăo de área da superficie (6) para determinar a ârea da superficie com equação vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma superfície definida por uma equação vetorial
e queremos encontrar a área dessa superfície no intervalo
e
. Para isso, vamos usar a definição de área de superfície, que envolve calcular o produto vetorial das derivadas parciais da equação vetorial e integrar o resultado sobre os limites dados. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre derivadas parciais e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação vetorial dada:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções dos eixos
,
e
respectivamente.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação às variáveis
e
. Vamos calcular
e
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas parciais,
. O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular à superfície, e sua magnitude nos dá a “área infinitesimal” da superfície.
Calculando o determinante:
Como , simplificamos para:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor, que representa a área infinitesimal:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos a magnitude, podemos configurar a integral dupla para encontrar a área total da superfície:
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirar da integral interna:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Substituindo de volta na integral externa:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral em relação a
:
Substituindo de volta:
Resposta
A área da superfície é
.
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Encontre F(s) ou f(t).
.
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