Resolva as equações: h y'' - y = x^2 e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver a equação diferencial . Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais Lineares de segunda ordem. Pra resolver, vamos precisar entender como resolver a parte homogênea dessa equação e depois encontrar uma solução particular pra equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Pra resolver a homogênea, assumimos uma solução do tipo . Derivando, temos e .

Passo 4

Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero), fica:
Então, a equação característica é .

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
Portanto, as soluções são exponenciais com taxas e .

Passo 6

A solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , usamos o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 8

Assumimos uma solução particular da forma:
Onde , e são constantes que vamos determinar.

Passo 9

Calculamos as derivadas necessárias:
Simplificando:

Passo 10

Substituindo e suas derivadas na equação original:
Dividindo por :

Passo 11

Agrupando os termos por grau de :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 12

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
  1. Da terceira equação:
Substituindo e :

Passo 13

Então, a solução particular é:

Passo 14

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

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