Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver a equação diferencial . Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais Lineares de segunda ordem. Pra resolver, vamos precisar entender como resolver a parte homogênea dessa equação e depois encontrar uma solução particular pra equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Pra resolver a homogênea, assumimos uma solução do tipo . Derivando, temos e .
Passo 4
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero), fica:
Então, a equação característica é .
Passo 5
Resolvendo a equação característica:
Portanto, as soluções são exponenciais com taxas e .
Passo 6
A solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , usamos o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 8
Assumimos uma solução particular da forma:
Onde , e são constantes que vamos determinar.
Passo 9
Calculamos as derivadas necessárias:
Simplificando:
Passo 10
Substituindo e suas derivadas na equação original:
Dividindo por :
Passo 11
Agrupando os termos por grau de :
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 12
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo e :
Passo 13
Então, a solução particular é:
Passo 14
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular: