Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma integral definida:
. Vamos usar os conceitos de integração do cálculo, especificamente as regras de integração de potências. Para isso, precisamos reescrever a função de uma forma que facilite a integração e depois calcular o valor da integral entre os limites 1 e 4.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever
e
usando expoentes fracionários:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica para integrar
é:
onde
é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com
.
Passo 4
Vamos integrar o primeiro termo,
:
Passo 5
Agora, vamos integrar o segundo termo,
:
Passo 6
Juntando os resultados das integrais, temos:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, ou seja, substituir
e
e calcular a diferença.
Passo 7
Primeiro, substituímos
:
Em seguida, substituímos
:
Passo 8
Agora, calculamos a diferença entre os valores obtidos:
Vamos simplificar:
Então,
Resposta
O valor da integral é
ou
.