Resolva as integrais abaixo: integral1^4 8raizt-12 raizt^3 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma integral definida: . Vamos usar os conceitos de integração do cálculo, especificamente as regras de integração de potências. Para isso, precisamos reescrever a função de uma forma que facilite a integração e depois calcular o valor da integral entre os limites 1 e 4.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever 8raizt = 8t^-1/2 e raizt^3 = t^3/2 e integral1^4 (8t^-1/2 - 12t^3/2) dt usando expoentes fracionários:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica para integrar integral t^n dt = t^n+1n+1 + C é:
onde é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com .

Passo 4

Vamos integrar o primeiro termo, integral 8t^-1/2 dt = 8 cdot t^(-1/2)+1(-1/2)+1 = 8 cdot t^1/21/2 = 8 cdot 2t^1/2 = 16raizt :

Passo 5

Agora, vamos integrar o segundo termo, integral -12t^3/2 dt = -12 cdot t^(3/2)+1(3/2)+1 = -12 cdot t^5/25/2 = -12 cdot 25t^5/2 = -245t^5/2 :

Passo 6

Juntando os resultados das integrais, temos:
integral1^4 (8t^-1/2 - 12t^3/2) dt = [16raizt - 245t^5/2]1^4
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, ou seja, substituir e e calcular a diferença.

Passo 7

Primeiro, substituímos 16raiz4 - 245(4)^5/2 = 16 cdot 2 - 245 cdot 32 = 32 - 7685 :
16raiz1 - 245(1)^5/2 = 16 cdot 1 - 245 cdot 1 = 16 - 245
Em seguida, substituímos :

Passo 8

Agora, calculamos a diferença entre os valores obtidos:
(32 - 7685) - (16 - 245) = 32 - 7685 - 16 + 245
Vamos simplificar:
32 - 16 = 16 e -7685 + 245 = -7445
Então,
16 - 7445 = 805 - 7445 = -6645 = -132,8

Resposta

O valor da integral é ou .

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