Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
(d) f(x, y) = (x^2 * y - y^3)^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular as derivadas de em relação a e em relação a separadamente. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica fundamental em cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é uma função composta, onde a parte interna é e a parte externa é .
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, derivamos em relação a :
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, usamos a regra da cadeia com e a parte externa :
Derivando em relação a :
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
e

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