Considere a função
f(x, y)=cc x^2-x yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
b) Calcule o limite lim (x, y) (1,1) f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso tá relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular limites em múltiplas direções e verificar se o resultado é consistente.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente os valores de f(1, 1) = 1^2 - 1 cdot 11^2 + 1^2 = 1 - 11 + 1 = 02 = 0 e por 1 na função, já que estamos olhando para o ponto . Isso nos dá:

Passo 3

Agora, para garantir que o limite realmente existe e é igual a 0, precisamos verificar se o resultado é o mesmo quando nos aproximamos de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todas as direções, então ele existe e é esse valor.

Passo 4

Vamos considerar dois caminhos diferentes:
  1. Caminho f(x, x) = x^2 - x cdot xx^2 + x^2 = x^2 - x^22x^2 = 02x^2 = 0 :
    Substituindo f(x, 1) = x^2 - x cdot 1x^2 + 1^2 = x^2 - xx^2 + 1 por f(1, 1) = 1 - 11 + 1 = 02 = 0 na função:
    Quando , o limite é 0.
  2. Caminho :
    Mantendo e deixando se aproximar de 1:
    Substituindo :
    Novamente, o limite é 0.

Passo 5

Como vimos, independente do caminho que a gente escolhe para se aproximar de , o limite da função sempre dá 0. Isso indica que o limite existe e é igual a esse valor.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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