Resolva as integrais abaixo utilizando as técnicas vistas em sala de aula (4 pontos - 1 ponto cada):© integral0^1 t^2 raiz(t^3+1)^3 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo aqui envolve integração por substituição e manipulação de expressões algébricas. Vamos precisar entender como simplificar a expressão dentro da raiz e aplicar a substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Temos raiz(t^3+1)^3 = (t^3+1)^3/2 . Lembra que integral0^1 t^2 (t^3+1)^3/2 , dt é o mesmo que . Então, podemos reescrever:
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Vamos usar substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = t^3 + 1
Agora, precisamos encontrar dudt = 3t^2 Rightarrow du = 3t^2 , dt em termos de t^2 , dt = du3 . Derivando ambos os lados em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo integral0^1 t^2 (t^3+1)^3/2 , dt = integralu(0)^u(1) (u)^3/2 cdot du3 e u = 0^3 + 1 = 1 na nossa integral original, temos:
u = 1^3 + 1 = 2
Agora, vamos ajustar os limites de integração. Quando 13 integral1^2 u^3/2 , du :
E quando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^3/2 , du = u^5/25/2 = 25 u^5/2 . A regra de integração para potências é:
13 cdot 25 [ u^5/2 ]1^2 = 215 (2^5/2 - 1^5/2)
Aqui, , então:
Substituindo de volta na nossa expressão:

Passo 6

Vamos calcular 2^5/2 = (2^1/2)^5 = (raiz2)^5 = 4raiz2 e 1^5/2 = 1 :
215 (4raiz2 - 1) = 8raiz2 - 215
Substituindo de volta:

Resposta

8raiz2 - 215

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