Resolva as integrais: integral x(2 x^2+3)^10 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x(2 x^2+3)^10 dx. Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma função dentro da integral que, quando derivada, apareça multiplicando-se por outra parte da expressão. Observando (2x^2 + 3)^10, notamos que a derivada de 2x^2 + 3 em relação a x é 4x. Entretanto, na nossa integral temos apenas x multiplicando, não 4x. Para ajustar isso, vamos considerar a substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = 2x^2 + 3. Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = 4x implies du = 4x,dx
Para conseguir o termo x,dx na integral, rearranjamos:
x,dx = du4

Passo 4

Substituindo u e x,dx na integral original, temos:
integral x(2 x^2+3)^10 dx = integral (u)^10 cdot du4 = 14 integral u^10 du
Agora, a integral ficou mais simples: integral u^10 du.

Passo 5

Integrando u^10 em relação a u, obtemos:
14 cdot u^1111 + C = u^1144 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u = 2x^2 + 3:
(2x^2 + 3)^1144 + C

Resposta

A integral integral x(2 x^2+3)^10 dx é igual a (2x^2 + 3)^1144 + C.

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