Resolva as integrais: integral raizx cos raizx^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integração. Olhando para a integral u = raizx^3 = x^3/2 , percebemos que o argumento do cosseno é . Então, vamos definir:
Essa escolha vai simplificar o argumento da função trigonométrica.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = ddx ( x^3/2 ) = 32 x^1/2 em relação a du = 32 raizx , dx para substituir raizx , dx = 23 , du na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:
E isolando :

Passo 4

Substituindo integral raizx cos raizx^3 , dx = integral cos(u) cdot 23 , du = 23 integral cos(u) , du e na integral original:
Agora, a integral está em termos de , que é mais simples de resolver.

Passo 5

Integrando 23 integral cos(u) , du = 23 sin(u) + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Resposta

Substituindo 23 sin ( raizx^3 ) + C de volta, a solução da integral é:

Exercícios relacionados