Resolva as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir . Essa substituição é legal porque a derivada de é , que já está presente no numerador da nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a diferencial . Se , então derivando ambos os lados em relação a , temos:
Perceba que aparecia no numerador da nossa integral original, o que é perfeito para a substituição.

Passo 4

Substituindo e na integral original, ela fica assim:
Isso simplifica bastante a integral, deixando-a em termos de .

Passo 5

Agora, vamos simplificar para escrever a integral de forma mais fácil de calcular:

Passo 6

Integrando em relação a , usamos a regra de potência para integrais:
Onde . Então:

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo de volta:

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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Uma partícula desloca-se sobre o eixo , com . Determine a posição da partícula no instante , no caso: e
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