Resolva a integral definida raiz quadrada de x dx no intervalo de 0 a 3.
Passo 1
Aqui, a gente tem que resolver uma integral definida da raiz quadrada de $ x $, ou seja, $ \sqrt{x} $, no intervalo de 0 a 3. Vamos usar conceitos de cálculo integral para encontrar essa área sob a curva da função $ \sqrt{x} $ entre esses dois pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para resolver uma integral, a gente precisa encontrar uma antiderivada da função que estamos integrando. A antiderivada é uma função cuja derivada é a função que estamos integrando. No nosso caso, queremos encontrar uma função cuja derivada seja $ \sqrt{x} $.
Passo 3
Vamos encontrar a antiderivada de $ \sqrt{x} $. Sabemos que $ \sqrt{x} $ pode ser escrito como $ x^{1/2} $. A regra de potências para integração diz que a integral de $ x^n , dx $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Aplicando essa regra:
Passo 4
Agora, que já temos a antiderivada, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a integral definida de uma função de $ a $ até $ b $ é igual à antiderivada avaliada em $ b $ menos a antiderivada avaliada em $ a $. Ou seja:
Passo 5
Vamos calcular agora cada termo:
Primeiro termo:
Sabemos que:
Então:
Segundo termo:
Resposta
Portanto, a integral definida de $ \sqrt{x} $ de 0 a 3 é igual a $ 2\sqrt{3} $.