Resolva a integral definida raiz quadrada de x dx no intervalo de 0 a 3.

Passo 1

Aqui, a gente tem que resolver uma integral definida da raiz quadrada de $ x $, ou seja, $ \sqrt{x} $, no intervalo de 0 a 3. Vamos usar conceitos de cálculo integral para encontrar essa área sob a curva da função $ \sqrt{x} $ entre esses dois pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para resolver uma integral, a gente precisa encontrar uma antiderivada da função que estamos integrando. A antiderivada é uma função cuja derivada é a função que estamos integrando. No nosso caso, queremos encontrar uma função cuja derivada seja $ \sqrt{x} $.

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada de $ \sqrt{x} $. Sabemos que $ \sqrt{x} $ pode ser escrito como $ x^{1/2} $. A regra de potências para integração diz que a integral de $ x^n , dx $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Aplicando essa regra:
raizx

Passo 4

Agora, que já temos a antiderivada, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a integral definida de uma função de $ a $ até $ b $ é igual à antiderivada avaliada em $ b $ menos a antiderivada avaliada em $ a $. Ou seja:
a

Passo 5

Vamos calcular agora cada termo:
Primeiro termo:
23(3)^3/2
Sabemos que:
3^3/2 = raiz3^3 = raiz27 = 3raiz3
Então:
23 times 3raiz3 = 2raiz3
Segundo termo:
23(0)^3/2 = 23 times 0 = 0

Resposta

Portanto, a integral definida de $ \sqrt{x} $ de 0 a 3 é igual a $ 2\sqrt{3} $.

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