Resolva o limite, aplique a Regra de Lf) lim x 0 xtan ^-1(4 x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o conceito de limites e a aplicação da Regra de L’Hôpital. Para resolver, precisaremos entender quando usar essa regra, que é útil em situações de formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0.
  • Numerador:
  • Denominador:
Sabemos que , então o denominador também tende a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada , onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital afirma que se limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos calcular:
desde que o limite do lado direito exista.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador f'(x) = 1 :
    g'(x) = ddx tan^-1(4x) = 41 + (4x)^2 = 41 + 16x^2
  • Derivada do denominador :
    Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
limx to 0 xtan^-1(4x) = limx to 0 f'(x)g'(x) = limx to 0 141 + 16x^2 = limx to 0 1 + 16x^24

Passo 6

Simplificamos o limite:
limx to 0 1 + 16x^24 = 1 + 04 = 14

Resposta

O limite é .

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