Resolva o limite, aplique a Regra de Lf)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o conceito de limites e a aplicação da Regra de L’Hôpital. Para resolver, precisaremos entender quando usar essa regra, que é útil em situações de formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0.
  • Numerador:
  • Denominador:
Sabemos que , então o denominador também tende a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada , onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital afirma que se resulta em ou , então podemos calcular:
desde que o limite do lado direito exista.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :
    Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:

Passo 6

Simplificamos o limite:

Resposta

O limite é .

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