O que acontece se você tentar usar a Regra de La) lim x infty xraizx^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar o limite e ver o que acontece se a gente tentar usar a Regra de L’Hôpital pra resolver isso. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente limites envolvendo funções racionais. A gente vai precisar entender quando e como aplicar a Regra de L’Hôpital e também explorar outras formas de resolver limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra de L’Hôpital. Ela é uma ferramenta que usamos para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como ou . A regra diz que, se esses casos ocorrerem, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite dessa nova fração.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso limite: . Quando substituímos por infinito, tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, ou seja, temos uma forma , que é uma das condições para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • A derivada de em relação a é 1.
  • A derivada de é .

Passo 5

Substituindo essas derivadas na Regra de L’Hôpital, temos:
limx infty 1xraizx^2+1 = limx infty raizx^2+1x
Agora, percebemos que retornamos a uma forma semelhante à inicial, ou seja, .

Passo 6

Isso mostra que aplicar a Regra de L’Hôpital nesse caso não nos ajuda a resolver o limite, pois acabamos em um ciclo sem resolver o problema. Então, precisamos tentar outro método.

Passo 7

Uma alternativa é dividir numerador e denominador por xraizx^2+1 = x/xraizx^2/x^2 + 1/x^2 = 1raiz1 + 1x^2 :
limx infty 1raiz1 + 0 = 11 = 1
Agora, quando tende ao infinito, tende a 0, então:

Resposta

O limite é igual a 1. Além disso, percebermos que tentar aplicar a Regra de L’Hôpital não nos ajudou a resolver o limite, pois nos levou a um ciclo sem solução. Portanto, métodos alternativos, como a divisão por , são mais eficazes nesse caso.

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