O que acontece se você tentar usar a Regra de La)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar o limite
e ver o que acontece se a gente tentar usar a Regra de L’Hôpital pra resolver isso. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente limites envolvendo funções racionais. A gente vai precisar entender quando e como aplicar a Regra de L’Hôpital e também explorar outras formas de resolver limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Regra de L’Hôpital. Ela é uma ferramenta que usamos para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
. A regra diz que, se esses casos ocorrerem, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite dessa nova fração.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso limite:
. Quando substituímos
por infinito, tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, ou seja, temos uma forma
, que é uma das condições para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- A derivada de
em relação a é 1. - A derivada de
é .
Passo 5
Substituindo essas derivadas na Regra de L’Hôpital, temos:
Agora, percebemos que retornamos a uma forma semelhante à inicial, ou seja,
.
Passo 6
Isso mostra que aplicar a Regra de L’Hôpital nesse caso não nos ajuda a resolver o limite, pois acabamos em um ciclo sem resolver o problema. Então, precisamos tentar outro método.
Passo 7
Uma alternativa é dividir numerador e denominador por
:
Agora, quando
tende ao infinito,
tende a 0, então:
Resposta
O limite
é igual a 1. Além disso, percebermos que tentar aplicar a Regra de L’Hôpital não nos ajudou a resolver o limite, pois nos levou a um ciclo sem solução. Portanto, métodos alternativos, como a divisão por
, são mais eficazes nesse caso.
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e
.
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