Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação: (人)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A questão pede para resolver um limite e, se for o caso, tratar uma indeterminação. O enunciado está um pouco confuso, mas pelo que entendi, temos algo assim:
Aqui, a gente está lidando com um limite que pode dar uma forma indeterminada, tipo
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de L’Hospital, que é uma ferramenta poderosa para resolver limites indeterminados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite direto substituindo
:
Aqui, o numerador é
porque
. O denominador depende das variáveis
e
, mas supondo que não sejam zero, o denominador não dá zero. Então, aparentemente, o limite seria
.
No entanto, se o denominador também tende a zero quando
, teríamos uma forma indeterminada
, e aí sim precisaríamos usar o Teorema de L’Hospital.
Passo 3
Vamos assumir que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando
. Para aplicar o Teorema de L’Hospital, a gente precisa derivar o numerador e o denominador em relação a
. Mas, olhando a expressão, parece que não há
explícito. Talvez
e
dependam de
.
Vamos supor que
e
. Então, a derivada do numerador e do denominador seria necessária.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Numerador:
Derivada do numerador:
Denominador:
Derivada do denominador: Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de L’Hospital:
Se o denominador
não for zero, então o limite será zero.
Resposta
O limite pedido é igual a
.
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