Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação: (人) theta * theta^2 + theta

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A questão pede para resolver um limite e, se for o caso, tratar uma indeterminação. O enunciado está um pouco confuso, mas pelo que entendi, temos algo assim:
Aqui, a gente está lidando com um limite que pode dar uma forma indeterminada, tipo . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de L’Hospital, que é uma ferramenta poderosa para resolver limites indeterminados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite direto substituindo :
Aqui, o numerador é porque . O denominador depende das variáveis e , mas supondo que não sejam zero, o denominador não dá zero. Então, aparentemente, o limite seria .
No entanto, se o denominador também tende a zero quando , teríamos uma forma indeterminada , e aí sim precisaríamos usar o Teorema de L’Hospital.

Passo 3

Vamos assumir que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando . Para aplicar o Teorema de L’Hospital, a gente precisa derivar o numerador e o denominador em relação a . Mas, olhando a expressão, parece que não há explícito. Talvez e dependam de .
Vamos supor que e . Então, a derivada do numerador e do denominador seria necessária.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Numerador:
Derivada do numerador:
Denominador:
Derivada do denominador: Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de L’Hospital:
Se o denominador não for zero, então o limite será zero.

Resposta

O limite pedido é igual a .

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