Resolva os problemas abaixo assumindo que e :

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial (PDE) do tipo hiperbólico e a condição inicial. O conteúdo principal aqui é a solução de equações diferenciais parciais de primeira ordem usando o método das características. Para resolver isso, vamos precisar entender como traçar as curvas características e aplicar a condição inicial fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para identificar os coeficientes das derivadas:
Aqui, é a derivada parcial de em relação a , e é a derivada parcial de em relação a .

Passo 3

O método das características nos ajuda a transformar a PDE em um sistema de equações ordinárias (ODEs) ao longo de curvas específicas chamadas de características. Para a equação dada, as equações características são:

Passo 4

Resolvendo a primeira equação característica:
Aqui, é uma constante que determina cada curva característica individual.

Passo 5

A segunda equação característica nos diz que:
í
Isso significa que o valor de permanece constante ao longo de cada curva característica.

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial . Na condição inicial, quando , temos (da equação com ).
Então, a solução ao longo da característica que passa por é:

Passo 7

Como , podemos resolver para :
Substituindo na expressão para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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