Resolva os problemas abaixo assumindo que
e
:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial (PDE) do tipo hiperbólico e a condição inicial. O conteúdo principal aqui é a solução de equações diferenciais parciais de primeira ordem usando o método das características. Para resolver isso, vamos precisar entender como traçar as curvas características e aplicar a condição inicial fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para identificar os coeficientes das derivadas:
Aqui,
é a derivada parcial de
em relação a
, e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
O método das características nos ajuda a transformar a PDE em um sistema de equações ordinárias (ODEs) ao longo de curvas específicas chamadas de características. Para a equação dada, as equações características são:
Passo 4
Resolvendo a primeira equação característica:
Aqui,
é uma constante que determina cada curva característica individual.
Passo 5
A segunda equação característica nos diz que:
Isso significa que o valor de
permanece constante ao longo de cada curva característica.
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
. Na condição inicial, quando
, temos
(da equação
com
).
Então, a solução ao longo da característica que passa por
é:
Passo 7
Como
, podemos resolver para
:
Substituindo
na expressão para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Resolva os problemas abaixo assumindo que
e
: