Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a Transformada de Fourier da função . A Transformada de Fourier é uma ferramenta que transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades das funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Fourier. Ela é dada por:
No nosso caso, . Então, substituindo na definição, temos:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da função dentro da integral. Sabemos que é uma função ímpar, e é uma função par, já que . O produto de uma função ímpar e uma função par é uma função ímpar. Portanto, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico ( a ) é zero. Mas, neste caso, o termo precisa ser considerado.

Passo 4

Vamos usar a identidade de Euler para escrever como . Então, nossa integral fica:
Isso pode ser separado em duas integrais:

Passo 5

Observamos que é uma função ímpar e é par, então o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre todo o eixo real é zero. Portanto, o primeiro termo desaparece:
Ficamos apenas com:

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda integral. Sabemos que:
Substituindo isso na integral:

Passo 7

Agora, precisamos calcular integrais do tipo:
Sabemos que:

Passo 8

Aplicando essa propriedade às integrais que temos:
Simplificando:

Passo 9

Vamos simplificar ainda mais a expressão. Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Calculando o numerador:
Então, temos:

Resposta

A Transformada de Fourier da função é:

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