Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a Transformada de Fourier da função
. A Transformada de Fourier é uma ferramenta que transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades das funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Fourier. Ela é dada por:
No nosso caso,
. Então, substituindo na definição, temos:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da função dentro da integral. Sabemos que
é uma função ímpar, e
é uma função par, já que
. O produto de uma função ímpar e uma função par é uma função ímpar. Portanto, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico (
a
) é zero. Mas, neste caso, o termo
precisa ser considerado.
Passo 4
Vamos usar a identidade de Euler para escrever
como
. Então, nossa integral fica:
Isso pode ser separado em duas integrais:
Passo 5
Observamos que
é uma função ímpar e
é par, então o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre todo o eixo real é zero. Portanto, o primeiro termo desaparece:
Ficamos apenas com:
Passo 6
Agora, vamos focar na segunda integral. Sabemos que:
Substituindo isso na integral:
Passo 7
Agora, precisamos calcular integrais do tipo:
Sabemos que:
Passo 8
Aplicando essa propriedade às integrais que temos:
Simplificando:
Passo 9
Vamos simplificar ainda mais a expressão. Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Calculando o numerador:
Então, temos:
Resposta
A Transformada de Fourier da função
é:
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e
: