Resolva os problemas abaixo assumindo que e :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação envolvendo derivadas parciais, conhecida como Equação das Ondas. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação junto com as condições iniciais dadas. Para isso, vamos precisar usar um pouco de transformada de Fourier, que é uma ferramenta matemática poderosa para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação das Ondas que temos:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação ao tempo , e é a segunda derivada em relação ao espaço . Essa equação descreve como ondas se propagam no espaço e no tempo.
As condições iniciais são:
A primeira condição nos dá a forma da onda no tempo inicial ( ), e a segunda nos diz que a velocidade inicial da onda é zero.
Para resolver essa equação, vamos usar a transformada de Fourier, que transforma a equação no domínio do espaço para o domínio da frequência, facilitando a resolução.

Passo 3

Aplicando a transformada de Fourier na Equação das Ondas, obtemos:
Onde é a transformada de Fourier de e é a variável de frequência.
Essa é uma equação diferencial ordinária comum, cuja solução geral é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as funções e .
Primeiro, aplicamos :
Sabemos que a transformada de é uma função retangular, então:
â
â
Agora, aplicamos a condição da velocidade inicial :

Passo 5

Substituindo e na solução geral, temos:
â
Para encontrar , aplicamos a transformada inversa de Fourier:
â
Sabendo que a transformada de um retângulo é uma função do tipo sinc, simplificamos para obter:

Resposta

A solução da equação das ondas com as condições iniciais dadas é:

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Descida qual é o menor dos dois números dados: -3 e
Encontre sabendo que
e que