Vamos resumir o que a questão nos pede e identificar os conceitos que vamos usar. Temos que encontrar sabendo que:
E também sabemos que:
Aqui, estamos lidando com Transformadas de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para transformar sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Vamos precisar usar propriedades das transformadas de Fourier, como a propriedade da multiplicação e a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para :
Isso significa que:
Para encontrar , basta isolar essa expressão:
Passo 3
Sabemos que , então podemos substituir:
Isso nos mostra que a transformada de é a transformada de multiplicada por .
Passo 4
Agora, vamos usar a propriedade de modulação das transformadas de Fourier, que diz que a multiplicação no domínio da frequência corresponde a um deslizamento no domínio do tempo. Especificamente:
Pode ser reescrito usando a identidade de Euler para o cosseno:
Então:
Passo 5
Aplicando a propriedade de deslocamento de frequência, sabemos que multiplicar por no domínio da frequência corresponde a um deslocamento no domínio do tempo:
Aplicando isso às duas partes da expressão:
Isso implica que:
Onde está relacionado aos termos . Ajustando para os coeficientes corretos, temos: