Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de contorno juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com as condições
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de
que faz com que a solução não seja a trivial (ou seja,
). Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais e condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa essa equação diferencial. A equação
é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Dependendo do valor de
, a solução geral dessa equação muda. Vamos explorar os diferentes casos para
.
Passo 3
Vamos considerar três possibilidades para
:
-
: A solução geral é . -
: A solução geral é . -
: A solução geral é .
Como queremos uma solução não trivial que satisfaça as condições de contorno, vamos analisar qual desses casos se aplica melhor.
Passo 4
Vamos começar assumindo que
. Então, a solução geral é:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 5
Primeira condição de contorno:
.
Então,
. A solução fica:
Segunda condição de contorno:
.
Para que essa equação seja satisfeita com
(solução não trivial), o argumento do seno precisa ser múltiplo de
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Portanto, os valores de
que satisfazem as condições de contorno com uma solução não trivial são
, onde
é um número inteiro positivo. Se considerarmos o menor valor possível para
, que é 1, temos:
Resposta
O valor de
que satisfaz as condições do problema é
.