Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja, y(x) != 0, para isso, determine o valor da contante k.
y'' + k y = 0
y(0) = 0
y(pi/4) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de contorno juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com as condições e . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de que faz com que a solução não seja a trivial (ou seja, ). Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais e condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa essa equação diferencial. A equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Dependendo do valor de , a solução geral dessa equação muda. Vamos explorar os diferentes casos para .

Passo 3

Vamos considerar três possibilidades para :
  1. : A solução geral é .
  2. : A solução geral é .
  3. : A solução geral é .
Como queremos uma solução não trivial que satisfaça as condições de contorno, vamos analisar qual desses casos se aplica melhor.

Passo 4

Vamos começar assumindo que . Então, a solução geral é:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar os valores de , e .

Passo 5

Primeira condição de contorno: .
Então, . A solução fica:
Segunda condição de contorno: .
Para que essa equação seja satisfeita com (solução não trivial), o argumento do seno precisa ser múltiplo de :
éú
Resolvendo para :

Passo 6

Portanto, os valores de que satisfazem as condições de contorno com uma solução não trivial são , onde é um número inteiro positivo. Se considerarmos o menor valor possível para , que é 1, temos:

Resposta

O valor de que satisfaz as condições do problema é .

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