Resolva os problemas de valor inicial.
d y/d x = 2 x - 7 ; y(2) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que diz assim: com a condição . Isso significa que queremos encontrar a função y(x) que, quando derivada, dá , e que passa pelo ponto onde x = 2 e . Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integrais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a equação quer dizer. Ela nos diz como y muda em relação a x. Para achar y(x), precisamos integrar os dois lados dessa equação. Integrar é como fazer o contrário da derivada, ou seja, descobrir a função original a partir da sua taxa de variação.
Então, integramos ambos os lados em relação a x:
Do lado esquerdo, a integral de em relação a x simplesmente nos dá y(x).

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral do lado direito:
Integrando cada termo:
  • A integral de em relação a x é , porque a derivada de é .
  • A integral de em relação a x é , porque a derivada de é .
Então, temos:
Aqui, C é a constante de integração, que vamos determinar no próximo passo.

Passo 4

Até agora, descobrimos que:
Mas não sabemos o valor de C ainda. Para encontrar isso, usamos a condição inicial que foi dada: . Isso significa que quando x = 2, y deve ser igual a 0.
Substituindo esses valores na equação:
Calculando:
Então, isolando C:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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