Resolva os problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que diz assim: com a condição . Isso significa que queremos encontrar a função que, quando derivada, dá , e que passa pelo ponto onde e . Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integrais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que a equação quer dizer. Ela nos diz como muda em relação a . Para achar , precisamos integrar os dois lados dessa equação. Integrar é como fazer o contrário da derivada, ou seja, descobrir a função original a partir da sua taxa de variação.
Então, integramos ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral de em relação a simplesmente nos dá .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral do lado direito:
Integrando cada termo:
  • A integral de em relação a é , porque a derivada de é .
  • A integral de em relação a é , porque a derivada de é .
Então, temos:
Aqui, é a constante de integração, que vamos determinar no próximo passo.

Passo 4

Até agora, descobrimos que:
Mas não sabemos o valor de ainda. Para encontrar isso, usamos a condição inicial que foi dada: . Isso significa que quando , deve ser igual a .
Substituindo esses valores na equação:
Calculando:
Então, isolando :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe o gráfico das soluções para diferentes valores de .
  • .
  • .
  • .
  • .
Usando a substituição, calcule as integrais.