Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que diz assim:
com a condição
. Isso significa que queremos encontrar a função
que, quando derivada, dá
, e que passa pelo ponto onde
e
. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integrais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que a equação
quer dizer. Ela nos diz como
muda em relação a
. Para achar
, precisamos integrar os dois lados dessa equação. Integrar é como fazer o contrário da derivada, ou seja, descobrir a função original a partir da sua taxa de variação.
Então, integramos ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral de
em relação a
simplesmente nos dá
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral do lado direito:
Integrando cada termo:
- A integral de
em relação a é , porque a derivada de é . - A integral de
em relação a é , porque a derivada de é .
Então, temos:
Aqui,
é a constante de integração, que vamos determinar no próximo passo.
Passo 4
Até agora, descobrimos que:
Mas não sabemos o valor de
ainda. Para encontrar isso, usamos a condição inicial que foi dada:
. Isso significa que quando
,
deve ser igual a
.
Substituindo esses valores na equação:
Calculando:
Então, isolando
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial é:
Exercícios relacionados
Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe o gráfico das soluções para diferentes valores de
.
-
. -
. -
. -
.
Usando a substituição, calcule as integrais.