Usando a substituição, calcule as integrais.

Passo 1

Vamos ver o que a pergunta está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de substituição para resolver essa integral. Vamos precisar aplicar essa técnica para simplificar a expressão e achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para deixar a integral mais fácil. Vamos chamar . Isso significa que a raiz quadrada, , vira , o que facilita a integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a relação entre e . Diferenciando em relação a , temos:
Isso dá:

Passo 4

Substituindo e na integral original, ficamos com:

Passo 5

Agora, vamos integrar . Sabemos que , e a integral de é . Então:
Multiplicando pelo fator que temos:

Passo 6

Por fim, voltamos para a variável original substituindo :
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe o gráfico das soluções para diferentes valores de .
  • .
  • .
  • .
  • .
Resolva os problemas de valor inicial.
Um tanque contém inicialmente 120 litros de água salgada. Uma mistura contendo uma concentração de 100 gramas/litro de sal entra no tanque a uma taxa de 2 litro/min e a solução, bem misturada, sai do tanque à mesma taxa. Sabendo que inicialmente havia 120 kg de sal no tanque, determine uma função que modele a quantidade de sal no taque após segundos.
Usando a substituição, calcule as integrais.