Usando a substituição, calcule as integrais.
Passo 1
Vamos ver o que a pergunta está pedindo. Precisamos calcular a integral de
em relação a
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de substituição para resolver essa integral. Vamos precisar aplicar essa técnica para simplificar a expressão e achar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para deixar a integral mais fácil. Vamos chamar
. Isso significa que a raiz quadrada,
, vira
, o que facilita a integração.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a relação entre
e
. Diferenciando
em relação a
, temos:
Isso dá:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, ficamos com:
Passo 5
Agora, vamos integrar
. Sabemos que
, e a integral de
é
. Então:
Multiplicando pelo fator que temos:
Passo 6
Por fim, voltamos para a variável original
substituindo
:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe o gráfico das soluções para diferentes valores de
.
-
. -
. -
. -
.
Resolva os problemas de valor inicial.
Um tanque contém inicialmente 120 litros de água salgada. Uma mistura contendo uma concentração de 100 gramas/litro de sal entra no tanque a uma taxa de 2 litro/min e a solução, bem misturada, sai do tanque à mesma taxa. Sabendo que inicialmente havia 120 kg de sal no tanque, determine uma função que modele a quantidade de sal no taque após
segundos.
Usando a substituição, calcule as integrais.