Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe o gráfico das soluções para diferentes valores de .
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Passo 1

Vamos resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. A equação geral é , onde e são constantes. Precisamos encontrar a solução para diferentes valores de (o valor inicial de quando ). Vamos usar o método do fator integrante para resolver cada uma das equações dadas.

Passo 2

Equação 1: , com
Identificamos que e .

Passo 3

Calculamos o fator integrante :

Passo 4

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :

Passo 6

Resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :

Passo 8

Substituímos na solução geral:

Passo 9

Resposta Final para Equação 1:

Passo 10

Equação 2: , com
Aqui, e .

Passo 11

Calculamos o fator integrante:

Passo 12

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 13

Integramos ambos os lados:

Passo 14

Resolvemos para :

Passo 15

Aplicamos a condição inicial :

Passo 16

Substituímos na solução geral:

Passo 17

Resposta Final para Equação 2:

Passo 18

Equação 3: , com
Aqui, e .

Passo 19

Calculamos o fator integrante:

Passo 20

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 21

Integramos ambos os lados:

Passo 22

Resolvemos para :

Passo 23

Aplicamos a condição inicial :

Passo 24

Substituímos na solução geral:

Passo 25

Resposta Final para Equação 3:

Passo 26

Equação 4: , com
Aqui, e .

Passo 27

Calculamos o fator integrante:

Passo 28

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 29

Integramos ambos os lados:

Passo 30

Resolvemos para :

Passo 31

Aplicamos a condição inicial :

Passo 32

Substituímos na solução geral:

Passo 33

Resposta Final para Equação 4:

Resposta

As soluções das equações diferenciais são:
Para diferentes valores de , os gráficos dessas soluções mostrarão curvas que se aproximam dos valores assentados (-5 ou -2.5) conforme aumenta, com a rapidez dependendo dos coeficientes das exponenciais.

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