Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe o gráfico das soluções para diferentes valores de
.
-
.
-
.
-
.
-
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. A equação geral é
, onde
e
são constantes. Precisamos encontrar a solução para diferentes valores de
(o valor inicial de
quando
). Vamos usar o método do fator integrante para resolver cada uma das equações dadas.
Passo 2
Equação 1:
, com
Identificamos que
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
:
Passo 4
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Passo 8
Substituímos
na solução geral:
Passo 9
Resposta Final para Equação 1:
Passo 10
Equação 2:
, com
Aqui,
e
.
Passo 11
Calculamos o fator integrante:
Passo 12
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 13
Integramos ambos os lados:
Passo 14
Resolvemos para
:
Passo 15
Aplicamos a condição inicial
:
Passo 16
Substituímos
na solução geral:
Passo 17
Resposta Final para Equação 2:
Passo 18
Equação 3:
, com
Aqui,
e
.
Passo 19
Calculamos o fator integrante:
Passo 20
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 21
Integramos ambos os lados:
Passo 22
Resolvemos para
:
Passo 23
Aplicamos a condição inicial
:
Passo 24
Substituímos
na solução geral:
Passo 25
Resposta Final para Equação 3:
Passo 26
Equação 4:
, com
Aqui,
e
.
Passo 27
Calculamos o fator integrante:
Passo 28
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 29
Integramos ambos os lados:
Passo 30
Resolvemos para
:
Passo 31
Aplicamos a condição inicial
:
Passo 32
Substituímos
na solução geral:
Passo 33
Resposta Final para Equação 4:
Resposta
As soluções das equações diferenciais são:
Para diferentes valores de
, os gráficos dessas soluções mostrarão curvas que se aproximam dos valores assentados (-5 ou -2.5) conforme
aumenta, com a rapidez dependendo dos coeficientes das exponenciais.
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Resolva os problemas de valor inicial.
Usando a substituição, calcule as integrais.
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segundos.