Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A matéria que a gente vai usar aqui envolve integrais de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão de polinômios e, depois, decompor a fração em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio do numerador pelo do denominador. Observa que os graus dos dois polinômios são iguais (ambos de grau 2). Então, dividimos
por
.
Dividindo
por
, obtemos:
Isso porque
.
Passo 3
Agora, a integral fica:
A primeira integral é simples, e a segunda vamos resolver decompondo em frações parciais.
Passo 4
Vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. São -1 e -2. Então:
Agora, expressamos
como frações parciais:
Passo 5
Vamos encontrar os valores de
e
. Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
Da segunda equação, temos
E então
.
Passo 6
Então, as frações parciais ficam:
Agora, voltamos à nossa integral:
Passo 7
Vamos resolver cada parte:
Juntando tudo, temos:
onde
é a constante de integração.
Resposta
Exercícios relacionados
(b) Em quais pontos
existe
?
Resolva o PVI a seguir, apresentando a solução na forma implícita.
(b)
.
©
.