Calcule: integral x^2+2x^2-3 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria que a gente vai usar aqui envolve integrais de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão de polinômios e, depois, decompor a fração em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio do numerador pelo do denominador. Observa que os graus dos dois polinômios são iguais (ambos de grau 2). Então, dividimos x^2 + 2x^2 - 3x + 2 = 1 + 3xx^2 - 3x + 2 por .
Dividindo por , obtemos:
Isso porque .

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral x^2+2x^2-3x+2 , dx = integral 1 , dx + integral 3xx^2-3x+2 , dx
A primeira integral é simples, e a segunda vamos resolver decompondo em frações parciais.

Passo 4

Vamos fatorar o denominador x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) . Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. São -1 e -2. Então:
3x(x - 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx - 2
Agora, expressamos como frações parciais:

Passo 5

Vamos encontrar os valores de 3x = A(x - 2) + B(x - 1) e 3x = A x - 2A + B x - B . Multiplicando ambos os lados por 3x = (A + B)x - (2A + B) :
A + B = 3 e -2A - B = 0
Expandindo:
A - 2A = 3 Rightarrow -A = 3 Rightarrow A = -3
Agrupando os termos:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
E então .

Passo 6

Então, as frações parciais ficam:
3x(x - 1)(x - 2) = -3x - 1 + 6x - 2
Agora, voltamos à nossa integral:
integral x^2+2x^2-3x+2 , dx = integral 1 , dx + integral ( -3x - 1 + 6x - 2 ) , dx

Passo 7

Vamos resolver cada parte:
integral 1 , dx = x
integral -3x - 1 , dx = -3 ln|x - 1|
integral 6x - 2 , dx = 6 ln|x - 2|
Juntando tudo, temos:
x - 3 ln|x - 1| + 6 ln|x - 2| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

x - 3 ln|x - 1| + 6 ln|x - 2| + C

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