Resolva o PVI usando a transformada de Laplace
onde a função
é definida como
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema com Valor Inicial (PVI) usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais
e
. A função
é definida por partes:
Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar a transformada de Laplace, que facilita a resolução de equações diferenciais transformando-as em equações algébricas no domínio de
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de
é
, e a de
é
. Aplicando isso:
Substituindo as transformadas:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos isolar
:
Então:
Passo 4
Precisamos calcular
. Como
é uma função por partes, vamos separar em duas partes:
Para
,
, então:
Para
,
, que pode ser escrito usando a função degrau de Heaviside
:
A transformada de Laplace de
é:
Então, combinando as duas partes:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Vamos simplificar o denominador:
Então:
Passo 6
Agora, precisamos fazer a decomposição em frações parciais para cada termo, mas para simplificar, vamos focar no termo principal sem considerar a parte envolvendo
inicialmente.
Para
, a decomposição fica:
Resolvendo para
e
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 7
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Então:
Passo 8
Para os outros termos, a inversa envolve convoluções e o uso da função degrau
. Seguindo os procedimentos padrão da transformada de Laplace, finalmente obtemos:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Considere as funções
contínuas.
Calcule caso
e
.
Calcule
Determine uma função
tal que
e use a parte (a) para calcular
sobre a curva
dada.
,
Discorra sobre como as firmas determinam seu nível de produção, considerando seus custos e proporção de insumos utilizados. Explique quais critérios são considerados pelas firmas nesse contexto (sua resposta deverá obrigatoriamente apresentar os conceitos de isoquantas e isocusto). Explique como a teoria da escolha da firma e da escolha do consumidor estão relacionadas.
Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números
. Qual a probabilidade de : Terminar em 3;