Resolva o PVI usando a transformada de Laplace
y'' + 3y' + 2y = g(t), y(0) = 0, y'(0) = 1
onde a função g é definida como
g(t) = { t/2, 0 <= t < 6; 3, 6 <= t }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema com Valor Inicial (PVI) usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais e . A função é definida por partes:
Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar a transformada de Laplace, que facilita a resolução de equações diferenciais transformando-as em equações algébricas no domínio de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de é , e a de é . Aplicando isso:
Substituindo as transformadas:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos isolar :
Então:

Passo 4

Precisamos calcular . Como é uma função por partes, vamos separar em duas partes:
Para , , então:
Para , , que pode ser escrito usando a função degrau de Heaviside :
A transformada de Laplace de é:
Então, combinando as duas partes:

Passo 5

Substituindo na expressão de :
Vamos simplificar o denominador:
Então:

Passo 6

Agora, precisamos fazer a decomposição em frações parciais para cada termo, mas para simplificar, vamos focar no termo principal sem considerar a parte envolvendo inicialmente.
Para , a decomposição fica:
Resolvendo para e :
Multiplicando ambos os lados por :
Para :
Para :
Então:

Passo 7

Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Então:

Passo 8

Para os outros termos, a inversa envolve convoluções e o uso da função degrau . Seguindo os procedimentos padrão da transformada de Laplace, finalmente obtemos:

Resposta

A solução do PVI é:

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