Considere as funções f, g: [0, ∞) → R contínuas.
Calcule f * g caso f(t) = t e g(t) = sen(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções contínuas: e . A tarefa é calcular a convolução dessas funções, que a gente escreve como . Para isso, vamos precisar usar a definição de convolução, que envolve uma integral. Não se preocupa, vou te explicar cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convolução. A convolução de duas funções e é dada por:
Então, vamos substituir as funções que a gente tem nessa fórmula.

Passo 3

Substituindo e na integral, fica:
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição para simplificar. Vamos deixar , então quando , , e quando , . Também, . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos expandir a integral:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 6

Primeira integral:

Passo 7

Segunda integral ( ) pode ser resolvida por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Aplicando os limites de 0 a t:

Passo 8

Agora, juntando tudo:

Resposta

A convolução das funções e é:

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