Determine uma função f tal que F=nabla f e use a parte (a) para calcular integralC F cdot d r sobre a curva C dada.
F(x, y, z)=y^2 cos z i+2 x y cos z j-x y^2 sen z k,
C: r(t)=t^2 i+sen t j+t k, 0 <= t <= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa encontrar uma função tal que o campo vetorial seja o gradiente de , ou seja, . Depois disso, vamos usar essa função para calcular a integral de linha de ao longo da curva definida por para . Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular integrais de linha usando potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa nabla f = ( partial fpartial x ) i + ( partial fpartial y ) j + ( partial fpartial z ) k . O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e cujos componentes são as derivadas parciais de em relação a , e . Ou seja:
Então, para encontrar , precisamos integrar as componentes de para obter .

Passo 3

Vamos igualar as componentes de F(x, y, z) = y^2 cos z i + 2xy cos z j -xy^2 sen z k ao gradiente de nabla f = partial fpartial x i + partial fpartial y j + partial fpartial z k :
partial fpartial x = y^2 cos z (1)
Então temos:
partial fpartial y = 2xy cos z (2)
partial fpartial z = -xy^2 sen z (3)
Vamos integrar a equação (1) em relação a f(x, y, z) = integral y^2 cos z , dx = y^2 cos z cdot x + g(y, z) para encontrar partial fpartial y = 2xy cos z + partial gpartial y = 2xy cos z :
partial fpartial z = -y^2 sen z cdot x + dhdz = -xy^2 sen z
Aqui, f(x, y, z) = x y^2 cos z + C é uma função que pode depender de e . Agora, vamos derivar em relação a e igualar à equação (2):
Isso implica que , então não depende de , ou seja, .
Agora, derivamos em relação a e igualamos à equação (3):
Portanto, , o que significa que é uma constante. Podemos então escrever a função potencial como:
Onde é uma constante que pode ser ignorada na integral de linha.

Passo 4

Agora que temos integralC F cdot dr = f(r(b)) - f(r(a)) , podemos calcular a integral de linha r(0) = 0^2 i + sen 0 j + 0 k = 0 usando o teorema fundamental para campos conservativos, que diz que:
r(pi) = pi^2 i + sen pi j + pi k = pi^2 i + 0 j + pi k
Onde f(r(0)) = f(0, 0, 0) = 0 cdot 0^2 cos 0 = 0 e f(r(pi)) = f(pi^2, 0, pi) = pi^2 cdot 0^2 cos pi = 0 são os pontos inicial e final da curva integralC F cdot dr = f(r(pi)) - f(r(0)) = 0 - 0 = 0 .
Vamos identificar:
Agora, calculamos nesses pontos:
Portanto,

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a 0.

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