Determine uma função
tal que
e use a parte (a) para calcular
sobre a curva
dada.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa encontrar uma função
tal que o campo vetorial
seja o gradiente de
, ou seja,
. Depois disso, vamos usar essa função para calcular a integral de linha de
ao longo da curva
definida por para
. Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular integrais de linha usando potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e cujos componentes são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Ou seja:
Então, para encontrar
, precisamos integrar as componentes de
para obter
.
Passo 3
Vamos igualar as componentes de
ao gradiente de
:
Então temos:
Vamos integrar a equação (1) em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à equação (2):
Isso implica que
, então
não depende de
, ou seja,
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à equação (3):
Portanto,
, o que significa que
é uma constante. Podemos então escrever a função potencial
como:
Onde
é uma constante que pode ser ignorada na integral de linha.
Passo 4
Agora que temos
, podemos calcular a integral de linha
usando o teorema fundamental para campos conservativos, que diz que:
Onde
e
são os pontos inicial e final da curva
.
Vamos identificar:
Agora, calculamos
nesses pontos:
Portanto,
Resposta
A integral de linha
ao longo da curva
é igual a 0.
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Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e © simplesmente conexo.
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Considere as funções
contínuas.
Calcule caso
e
.
Calcule
Resolva o PVI usando a transformada de Laplace
onde a função
é definida como