Determine uma função tal que e use a parte (a) para calcular sobre a curva dada.
,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa encontrar uma função tal que o campo vetorial seja o gradiente de , ou seja, . Depois disso, vamos usar essa função para calcular a integral de linha de ao longo da curva definida por para . Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular integrais de linha usando potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e cujos componentes são as derivadas parciais de em relação a , e . Ou seja:
Então, para encontrar , precisamos integrar as componentes de para obter .

Passo 3

Vamos igualar as componentes de ao gradiente de :
Então temos:
Vamos integrar a equação (1) em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que pode depender de e . Agora, vamos derivar em relação a e igualar à equação (2):
Isso implica que , então não depende de , ou seja, .
Agora, derivamos em relação a e igualamos à equação (3):
Portanto, , o que significa que é uma constante. Podemos então escrever a função potencial como:
Onde é uma constante que pode ser ignorada na integral de linha.

Passo 4

Agora que temos , podemos calcular a integral de linha usando o teorema fundamental para campos conservativos, que diz que:
Onde e são os pontos inicial e final da curva .
Vamos identificar:
Agora, calculamos nesses pontos:
Portanto,

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a 0.

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