Resolva as seguintes inequações do 2. grau:
a)x²-2×-8<0
b)9x²-8x-1>0
c)x²-10x+25>0
d)3x²+2x-1>0
e)-x²+4×-4<0
f)x²<9

Passo 1

Vamos resolver as seguintes inequações do 2º grau:
a) x^2 - 2x - 8 < 0
b) 9x^2 - 8x - 1 > 0
c) x^2 - 10x + 25 > 0
d) 3x^2 + 2x - 1 > 0
e) -x^2 + 4x - 4 < 0
f) x^2 < 9
Para resolver essas inequações, vamos encontrar as raízes de cada equação quadrática correspondente e analisar os intervalos onde as inequações são verdadeiras.

Passo 2

a) x^2 - 2x - 8 < 0
Primeiro, resolvemos a equação quadrática associada: x^2 - 2x - 8 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-8)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm raiz362 = 2 pm 62
As raízes são:
x1 = 2 + 62 = 4 e x2 = 2 - 62 = -2
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima. Portanto, a inequação x^2 - 2x - 8 < 0 será verdadeira entre as raízes:
-2 < x < 4

Passo 3

b) 9x^2 - 8x - 1 > 0
Resolvemos a equação quadrática: 9x^2 - 8x - 1 = 0.
Aplicando Bhaskara:
x = 8 pm raiz(-8)^2 - 4 cdot 9 cdot (-1)2 cdot 9 = 8 pm raiz64 + 3618 = 8 pm raiz10018 = 8 pm 1018
As raízes são:
x1 = 8 + 1018 = 1 e x2 = 8 - 1018 = -19
Com o coeficiente de x^2 positivo, a parábola abre para cima. Assim, a inequação 9x^2 - 8x - 1 > 0 será verdadeira fora das raízes:
x < -19 ou x > 1

Passo 4

c) x^2 - 10x + 25 > 0
Primeiro, resolvemos a equação quadrática: x^2 - 10x + 25 = 0.
Calculando o discriminante ( De):
De
Como De, há uma única raiz real (raiz dupla):
x = 102 = 5
A parábola toca o eixo x apenas no ponto x = 5 e, como o coeficiente de x^2 é positivo, a função será positiva para todos os valores de x diferentes de 5. Portanto, a inequação x^2 - 10x + 25 > 0 é verdadeira para:
x in R setminus 5

Passo 5

d) 3x^2 + 2x - 1 > 0
Resolvemos a equação quadrática: 3x^2 + 2x - 1 = 0.
Aplicando Bhaskara:
x = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 3 cdot (-1)2 cdot 3 = -2 pm raiz4 + 126 = -2 pm raiz166 = -2 pm 46
As raízes são:
x1 = -2 + 46 = 26 = 13 e x2 = -2 - 46 = -1
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima. Portanto, a inequação 3x^2 + 2x - 1 > 0 será verdadeira fora das raízes:
x < -1 ou x > 13

Passo 6

e) -x^2 + 4x - 4 < 0
Primeiro, resolvemos a equação quadrática: -x^2 + 4x - 4 = 0.
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre-se que ao multiplicar por um número negativo a desigualdade inverte o sinal):
x^2 - 4x + 4 = 0
Calculando o discriminante ( De):
De
Como De, há uma única raiz real (raiz dupla):
x = 42 = 2
A parábola original -x^2 + 4x - 4 abre para baixo (coeficiente de x^2 negativo) e toca o eixo x apenas no ponto x = 2. Portanto, a inequação -x^2 + 4x - 4 < 0 é verdadeira para todos os valores de x exceto x = 2:
x in R, x neq 2

Passo 7

f) x^2 < 9
Reescrevemos a inequação:
x^2 - 9 < 0 Rightarrow (x - 3)(x + 3) < 0
As raízes são x = 3 e x = -3.
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima. Portanto, a expressão será negativa entre as raízes:
-3 < x < 3

Resposta

a) -2 < x < 4
b) x < -19 ou x > 1
c) x in R, , x neq 5
d) x < -1 ou x > 13
e) x in R, , x neq 2
f) -3 < x < 3

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