Resolva as seguintes integrais: r) integral e^2 x2+e^2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complexas ao transformar a variável de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir. Observamos que o denominador é , que é semelhante à parte do numerador . Vamos fazer a seguinte substituição:
Seja .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2 e^2x em relação a du = 2 e^2x , dx Rightarrow dx = du2 e^2x para substituir :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral e^2x2 + e^2x , dx = integral e^2xu cdot du2 e^2x = integral 12u , du e na integral original:
Aqui, no numerador e no denominador se cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
integral 12u , du = 12 integral 1u , du
Sabemos que a integral de 12 ln|u| + C em relação a é , então:

Passo 6

Finalmente, substituímos 12 ln|2 + e^2x| + C de volta pela expressão original:

Resposta

12 ln(2 + e^2x) + C

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