Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral definida de de até usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta a noção de integral com a de antiderivada, que é basicamente uma função cuja derivada resulta na função que estamos integrando. Então, para resolver, vamos precisar achar a antiderivada de e depois avaliar essa função nos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele tem duas partes, mas a que vamos usar aqui é a que relaciona a integral definida com a antiderivada. Basicamente, se é uma antiderivada de , então:
Ou seja, para calcular a integral definida, basta encontrar uma antiderivada da função e avaliar essa antiderivada nos pontos e , e depois subtrair.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de . Sabemos que a derivada de é , então a antiderivada de é:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, essa constante vai se cancelar na diferença, então podemos ignorá-la.

Passo 4

Com a antiderivada em mãos, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos avaliar nos limites de integração, e , e depois subtrair:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores das funções trigonométricas:
Portanto:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes integrais:
Resolva as seguintes integrais:
Resolva as seguintes integrais:
Resolva as seguintes integrais: