Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
integral0^pi cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral definida de cos(x) de 0 até pi usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta a noção de integral com a de antiderivada, que é basicamente uma função cuja derivada resulta na função que estamos integrando. Então, para resolver, vamos precisar achar a antiderivada de cos(x) e depois avaliar essa função nos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele tem duas partes, mas a que vamos usar aqui é a que relaciona a integral definida com a antiderivada. Basicamente, se F(x) é uma antiderivada de f(x), então:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Ou seja, para calcular a integral definida, basta encontrar uma antiderivada da função e avaliar essa antiderivada nos pontos b e a, e depois subtrair.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de cos(x). Sabemos que a derivada de sin(x) é cos(x), então a antiderivada de cos(x) é:
F(x) = sin(x) + C
Onde C é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, essa constante vai se cancelar na diferença, então podemos ignorá-la.

Passo 4

Com a antiderivada em mãos, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos avaliar F(x) nos limites de integração, pi e 0, e depois subtrair:
integral0^pi cos(x) , dx = F(pi) - F(0) = sin(pi) - sin(0)

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores das funções trigonométricas:
sin(pi) = 0 e sin(0) = 0
Portanto:
sin(pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0

Resposta

A integral integral0^pi cos(x) , dx é igual a 0.

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