Calcule usando o Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral definida de
de
até
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema conecta a noção de integral com a de antiderivada, que é basicamente uma função cuja derivada resulta na função que estamos integrando. Então, para resolver, vamos precisar achar a antiderivada de
e depois avaliar essa função nos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele tem duas partes, mas a que vamos usar aqui é a que relaciona a integral definida com a antiderivada. Basicamente, se
é uma antiderivada de
, então:
Ou seja, para calcular a integral definida, basta encontrar uma antiderivada da função e avaliar essa antiderivada nos pontos
e
, e depois subtrair.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a antiderivada de
. Sabemos que a derivada de
é
, então a antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, essa constante vai se cancelar na diferença, então podemos ignorá-la.
Passo 4
Com a antiderivada em mãos, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos avaliar
nos limites de integração,
e
, e depois subtrair:
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores das funções trigonométricas:
Portanto:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes integrais:
Resolva as seguintes integrais:
Resolva as seguintes integrais:
Resolva as seguintes integrais: