Resolva as seguintes Integrais usando o método de integração por partes.
integral0^0,5[(x+1+Omega7) e^2 x] d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida de usando o método de integração por partes. Este exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar partes da expressão que serão atribuídas a e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x + 1 + Omega7 e dv = e^2x , dx
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

Calculando du = ddx ( x + 1 + Omega7 ) dx = (1 + 0 + 0) dx = dx :
v = integral e^2x , dx = 12 e^2x
E calculando :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo:
integral ( x + 1 + Omega7 ) e^2x dx = ( x + 1 + Omega7 ) cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot dx

Passo 6

Simplificando a expressão:
= 12 ( x + 1 + Omega7 ) e^2x - 12 integral e^2x dx
Calculando a integral restante:
integral e^2x dx = 12 e^2x

Passo 7

Substituindo de volta:
= 12 ( x + 1 + Omega7 ) e^2x - 12 cdot 12 e^2x + C
= 12 ( x + 1 + Omega7 - 12 ) e^2x + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 0,5:
[ 12 ( x + 1 + Omega7 - 12 ) e^2x ]0^0,5

Passo 9

Calculando em 12 ( 0,5 + 1 + Omega7 - 12 ) e^1 = 12 (1 + Omega7) e :
12 (0 + 1 + Omega7 - 12 ) e^0 = 12 (12 + Omega7)
Calculando em :

Passo 10

Subtraindo os valores:
12 (1 + Omega7) e - 12 (12 + Omega7)

Passo 11

Simplificando a expressão:
= e2 (1 + Omega7) - 12 (12 + Omega7)

Resposta

A integral definida é igual a:
e2 (1 + Omega7) - 12 (12 + Omega7)

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