Considere a diferencial ordinária abaixo e apresente solução geral (Valor: 1,0 ponto).
dC/dt = -k * C^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver uma equação diferencial ordinária que descreve como a concentração muda ao longo do tempo . A equação é:
Aqui, é uma constante positiva e é um expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis e de lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa que a gente vai colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. A equação fica assim:
Dessa forma, preparamos a equação para a integração, que é o próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A gente integra em relação a do lado esquerdo e em relação a do lado direito:
A integral do lado esquerdo, dependendo do valor de , pode ser resolvida usando a regra da potência. Já a integral do lado direito é mais simples, é só integrar a constante em relação a .

Passo 4

Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo:
E para o lado direito:
Juntando os dois resultados e simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos isolar para achar a solução geral. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Para simplificar, podemos chamar de uma nova constante, mas vamos manter assim para clareza. Finalmente, elevamos ambos os lados à potência para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração determinada pelas condições iniciais.

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