Considere a diferencial ordinária abaixo e apresente solução geral (Valor: 1,0 ponto).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver uma equação diferencial ordinária que descreve como a concentração
muda ao longo do tempo
. A equação é:
Aqui,
é uma constante positiva e
é um expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis
e
de lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa que a gente vai colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. A equação fica assim:
Dessa forma, preparamos a equação para a integração, que é o próximo passo.
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A gente integra em relação a
do lado esquerdo e em relação a
do lado direito:
A integral do lado esquerdo, dependendo do valor de
, pode ser resolvida usando a regra da potência. Já a integral do lado direito é mais simples, é só integrar a constante
em relação a
.
Passo 4
Vamos resolver as integrais:
Para o lado esquerdo:
E para o lado direito:
Juntando os dois resultados e simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos isolar
para achar a solução geral. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Para simplificar, podemos chamar
de uma nova constante, mas vamos manter assim para clareza. Finalmente, elevamos ambos os lados à potência
para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração determinada pelas condições iniciais.