Determine uma região no plano
para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto
na região.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma região no plano
onde a equação diferencial
tem uma solução que passa por qualquer ponto
nessa região. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e as condições que garantem que uma solução exista e seja única.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação diferencial. A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Aqui, comparando com a equação original, temos:
Passo 3
Agora, para garantir que exista uma solução que passe por qualquer ponto
, precisamos verificar as condições de existência e unicidade das soluções para equações diferenciais lineares. De acordo com o Teorema de Exibição e Unicidade (ou Teorema de Picard-Lindelöf), se as funções
e
forem contínuas em uma região do plano
, então existe uma única solução que passa por qualquer ponto nessa região.
Passo 4
Vamos analisar as funções
e
:
Ambas são funções polinomiais, o que significa que são contínuas para todo valor de
real. Não há pontos onde essas funções descontinuam ou apresentam problemas.
Passo 5
Como
e
são contínuas para todo
real, o Teorema de Exibição e Unicidade nos garante que existe uma solução única para a equação diferencial
que passa por qualquer ponto
no plano
.
Resposta
A região no plano
onde a equação diferencial
tem solução para qualquer ponto
é todo o plano
, ou seja, para todos os valores de
e
.