Determine uma região no plano x y para a qual a equação diferencial teria uma solução passando por um ponto (x0, y0) na região. d y/d x - y = x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma região no plano onde a equação diferencial tem uma solução que passa por qualquer ponto nessa região. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e as condições que garantem que uma solução exista e seja única.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação diferencial. A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Aqui, comparando com a equação original, temos:

Passo 3

Agora, para garantir que exista uma solução que passe por qualquer ponto , precisamos verificar as condições de existência e unicidade das soluções para equações diferenciais lineares. De acordo com o Teorema de Exibição e Unicidade (ou Teorema de Picard-Lindelöf), se as funções e forem contínuas em uma região do plano , então existe uma única solução que passa por qualquer ponto nessa região.

Passo 4

Vamos analisar as funções e :
Ambas são funções polinomiais, o que significa que são contínuas para todo valor de real. Não há pontos onde essas funções descontinuam ou apresentam problemas.

Passo 5

Como e são contínuas para todo real, o Teorema de Exibição e Unicidade nos garante que existe uma solução única para a equação diferencial que passa por qualquer ponto no plano .

Resposta

A região no plano onde a equação diferencial tem solução para qualquer ponto é todo o plano , ou seja, para todos os valores de e .

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