Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou. Temos duas equações:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Isso significa que cada equação envolve a derivada de uma função (no caso, e ) em relação a , e as equações são lineares, ou seja, as funções estão multiplicadas apenas por constantes e não por si mesmas ou entre si. Para resolver, a gente vai resolver cada equação separadamente usando o método do fator integrante.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira equação:
Primeiro, vamos arrumar a equação para o formato padrão das equações lineares:
Aqui, e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a tornar a equação mais fácil de resolver. O fator integrante é dado por:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
A esquerda da equação agora é a derivada do produto , ou seja:

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados com relação a :
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá . Para resolver a integral do lado direito, usamos uma técnica de integração por partes ou reconhecemos uma forma padrão:
Então, temos:

Passo 5

Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :
Pronto, essa é a solução para a primeira equação diferencial.

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda equação:
Primeiro, arrumamos para o formato padrão:
Aqui, e . Encontramos o fator integrante:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
A esquerda agora é a derivada do produto :

Passo 8

Integramos ambos os lados com relação a :
A integral do lado esquerdo é . Para a integral do lado direito, usamos integração por partes:
Então, temos:

Passo 9

Isolando , dividimos ambos os lados por :

Resposta

As soluções do sistema de equações diferenciais são:
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
Encontre as soluções homogênea e particular das seguintes equações diferenciais:
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
Considere a sequência . Essa sequência é monótona? Ela é limitada? Você pode concluir que ela é convergente?