Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou. Temos duas equações:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Isso significa que cada equação envolve a derivada de uma função (no caso,
e
) em relação a
, e as equações são lineares, ou seja, as funções estão multiplicadas apenas por constantes e não por si mesmas ou entre si. Para resolver, a gente vai resolver cada equação separadamente usando o método do fator integrante.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a primeira equação:
Primeiro, vamos arrumar a equação para o formato padrão das equações lineares:
Aqui,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a tornar a equação mais fácil de resolver. O fator integrante
é dado por:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
, ou seja:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados com relação a
:
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá
. Para resolver a integral do lado direito, usamos uma técnica de integração por partes ou reconhecemos uma forma padrão:
Então, temos:
Passo 5
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Pronto, essa é a solução para a primeira equação diferencial.
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda equação:
Primeiro, arrumamos para o formato padrão:
Aqui,
e
. Encontramos o fator integrante:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
A esquerda agora é a derivada do produto
:
Passo 8
Integramos ambos os lados com relação a
:
A integral do lado esquerdo é
. Para a integral do lado direito, usamos integração por partes:
Então, temos:
Passo 9
Isolando
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
As soluções do sistema de equações diferenciais são:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
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Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
Encontre as soluções homogênea e particular das seguintes equações diferenciais:
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Considere a sequência
. Essa sequência é monótona? Ela é limitada? Você pode concluir que ela é convergente?