Considere a sequência . Essa sequência é monótona? Ela é limitada? Você pode concluir que ela é convergente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisarmos a sequência . A gente vai verificar se essa sequência é monótona, se ela é limitada e se, com isso, ela converge. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de sequências numéricas, especialmente sobre crescimento de fatorias e produtos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é e o produto no denominador. O (fatorial de ) é o produto de todos os números inteiros de 1 até . Já o denominador, , é o produto dos primeiros números ímpares.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador. Sabemos que o produto dos primeiros números ímpares pode ser expresso como:
Essa fórmula facilita os cálculos futuros.

Passo 4

Substituindo essa expressão na sequência , temos:
Agora, a sequência está mais simplificada e podemos analisar seu comportamento.

Passo 5

Para verificar se a sequência é monótona, vamos analisar o quociente :
Simplificando:
Observando o comportamento quando cresce, vemos que o numerador cresce como e o denominador também como . Calculando o limite do quociente conforme tende ao infinito:
Isso indica que para suficientemente grande, ou seja, a sequência é monotonamente decrescente.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Já que a sequência é decrescente, seu maior valor está em :
E conforme aumenta, diminui. Além disso, sabemos que porque é uma fração de fatorias positivas. Portanto, a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.

Passo 7

Finalmente, para determinar a convergência, usamos o Teorema das Sequências Monótonas. Como a sequência é monotonamente decrescente e limitada inferiormente, ela converge.

Resposta

A sequência é monotonamente decrescente, está limitada e, portanto, é convergente.

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