Considere a sequência
. Essa sequência é monótona? Ela é limitada? Você pode concluir que ela é convergente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisarmos a sequência
. A gente vai verificar se essa sequência é monótona, se ela é limitada e se, com isso, ela converge. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de sequências numéricas, especialmente sobre crescimento de fatorias e produtos. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é
e o produto no denominador. O
(fatorial de
) é o produto de todos os números inteiros de 1 até
. Já o denominador,
, é o produto dos primeiros
números ímpares.
Passo 3
Vamos simplificar o denominador. Sabemos que o produto dos primeiros
números ímpares pode ser expresso como:
Essa fórmula facilita os cálculos futuros.
Passo 4
Substituindo essa expressão na sequência
, temos:
Agora, a sequência está mais simplificada e podemos analisar seu comportamento.
Passo 5
Para verificar se a sequência é monótona, vamos analisar o quociente
:
Simplificando:
Observando o comportamento quando
cresce, vemos que o numerador cresce como
e o denominador também como
. Calculando o limite do quociente conforme
tende ao infinito:
Isso indica que
para
suficientemente grande, ou seja, a sequência é monotonamente decrescente.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Já que a sequência é decrescente, seu maior valor está em
:
E conforme
aumenta,
diminui. Além disso, sabemos que
porque é uma fração de fatorias positivas. Portanto, a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.
Passo 7
Finalmente, para determinar a convergência, usamos o Teorema das Sequências Monótonas. Como a sequência é monotonamente decrescente e limitada inferiormente, ela converge.
Resposta
A sequência
é monotonamente decrescente, está limitada e, portanto, é convergente.
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