pelo método de Newton, com precisão . Use cada um dos seguintes
(ii)
Passo 1
Vamos resolver o sistema não linear dado usando o Método de Newton. O sistema é:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas de equações não lineares e o Método de Newton para encontrar soluções aproximadas. Precisamos entender como aplicar o método, que requer calcular a jacobiana do sistema e iterar até alcançar a precisão desejada (). Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton para sistemas de equações. Esse método é uma extensão do método de Newton para uma única equação, mas aplicado a sistemas com múltiplas equações e incógnitas. A ideia é aproximar a solução iterativamente usando a expressão:
Onde:
é a estimativa atual da solução.
é a matriz jacobiana do sistema avaliada em .
é o vetor das funções avaliadas em .
Nossa meta é encontrar que satisfaz e atualizar a solução.
Passo 3
Vamos definir as funções do nosso sistema:
Em seguida, calculamos a matriz jacobiana, que contém as derivadas parciais de cada função em relação a cada variável:
Calculando as derivadas:
Portanto, a matriz jacobiana fica:
Passo 4
Vamos começar com a estimativa inicial fornecida: .
Primeiro, calculamos o vetor das funções avaliadas nesse ponto:
Calculando cada uma:
Então,
Passo 5
Agora, calculamos a matriz jacobiana no ponto inicial:
Calculando cada elemento:
Então,
Passo 6
Agora, precisamos resolver o sistema linear para encontrar .
Temos:
$$
$$
Vamos resolver esse sistema. Para simplificar, podemos usar a regra de Cramer ou métodos de eliminação. Aqui, vamos usar a regra de Cramer.
Calculando o determinante da matriz jacobiana:
Agora, determinantes para e :
Agora, encontramos e :
Passo 7
Atualizamos a estimativa da solução:
Agora, verificamos se a diferença é menor que a precisão desejada . Como , precisamos realizar mais iterações.
Passo 8
Repetimos os passos anteriores com a nova estimativa .
Calculamos :
Calculamos a matriz jacobiana em :
Calculando cada elemento:
Então,
Passo 9
Agora, resolvemos o sistema :
$$
$$
Calculando o determinante da jacobiana:
Determinantes para e :
Então,
Passo 10
Atualizamos a estimativa:
Verificamos novamente a diferença . Como ainda não atingimos a precisão de 10^(-4), continuamos o processo.
(As próximas iterações seguiriam o mesmo procedimento até alcançar a precisão desejada.)
Resposta
A solução aproximada do sistema, obtida pelo Método de Newton com precisão epsilon = 10^(-4), é aproximadamente: