Calcule a fatoração L U das seguintes matrizes (sem pivoteamento):
A = [[2, -1, -6, 3], [7, -4, 2, -15], [1, -2, -4, 9], [1, -1, 2, -6]]

Passo 1

Beleza, vamos calcular a fatoração da matriz que foi dada. Isso faz parte da álgebra linear, onde a gente decompõe uma matriz quadrada em duas matrizes: uma triangular inferior e uma triangular superior . Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss sem pivotamento, ou seja, sem trocar as linhas durante o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz :
Vamos começar a eliminar os elementos abaixo da diagonal principal para formar a matriz , e os coeficientes usados nessa eliminação serão os elementos da matriz .

Passo 3

Eliminação da primeira coluna:
O primeiro elemento pivô é . Vamos eliminar os elementos abaixo dele nas linhas 2, 3 e 4.
  • Para a linha 2:
    • Multiplicador
    • Atualizamos a linha 2:
  • Para a linha 3:
    • Multiplicador
    • Atualizamos a linha 3:
  • Para a linha 4:
    • Multiplicador
    • Atualizamos a linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:
E a matriz até agora é:

Passo 4

Eliminação da segunda coluna:
Agora, o segundo pivô é na posição . Vamos eliminar os elementos abaixo dele nas linhas 3 e 4.
  • Para a linha 3:
    • Multiplicador
    • Atualizamos a linha 3:
  • Para a linha 4:
    • Multiplicador
    • Atualizamos a linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:
E a matriz atualizada é:

Passo 5

Eliminação da terceira coluna:
O terceiro pivô é na posição . Vamos eliminar o elemento abaixo dele na linha 4.
  • Para a linha 4:
    • Multiplicador
    • Atualizamos a linha 4:
Após essa operação, a matriz fica:
E a matriz final é:

Resposta

A fatoração da matriz sem pivoteamento é dada por:
e

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