Calcule a fatoração das seguintes matrizes (sem pivoteamento):
Passo 1
Beleza, vamos calcular a fatoração da matriz que foi dada. Isso faz parte da álgebra linear, onde a gente decompõe uma matriz quadrada em duas matrizes: uma triangular inferior e uma triangular superior . Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss sem pivotamento, ou seja, sem trocar as linhas durante o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
Vamos começar a eliminar os elementos abaixo da diagonal principal para formar a matriz , e os coeficientes usados nessa eliminação serão os elementos da matriz .
Passo 3
Eliminação da primeira coluna:
O primeiro elemento pivô é . Vamos eliminar os elementos abaixo dele nas linhas 2, 3 e 4.
Para a linha 2:
Multiplicador
Atualizamos a linha 2:
Para a linha 3:
Multiplicador
Atualizamos a linha 3:
Para a linha 4:
Multiplicador
Atualizamos a linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:
E a matriz até agora é:
Passo 4
Eliminação da segunda coluna:
Agora, o segundo pivô é na posição . Vamos eliminar os elementos abaixo dele nas linhas 3 e 4.
Para a linha 3:
Multiplicador
Atualizamos a linha 3:
Para a linha 4:
Multiplicador
Atualizamos a linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:
E a matriz atualizada é:
Passo 5
Eliminação da terceira coluna:
O terceiro pivô é na posição . Vamos eliminar o elemento abaixo dele na linha 4.
Para a linha 4:
Multiplicador
Atualizamos a linha 4:
Após essa operação, a matriz fica:
E a matriz final é:
Resposta
A fatoração da matriz sem pivoteamento é dada por: